Через точку $%M$% внутри треугольника $%ABC$% провели прямые, параллельные его сторонам. Образовались три треугольника и три параллелограмма. Выразить площадь треугольника $%ABC$% через площади $%S_1$%, $%S_2$%, $%S_3$% трех треугольников.

задан 12 Окт '14 12:51

изменен 13 Окт '14 11:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@1_ilya_1, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(13 Окт '14 11:45) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай $%a_2$%, $%a_1$%, $%a_3$% - основания ($%a_2+a_1+a_3=a$%, где $%a$% - основание данного треугольника), а $%h_2$%, $%h_1$%, $%h_3$% - высоты треугольников с площадями $%S_2$%, $%S_1$%, $%S_3$% соответственно. Рассмотрим отношение $%S_1:S_2=h_1^2:h_2^2$%. Тогда $%h_1$% равна произведению $%h_2$% на квадратный корень из отношения площадей $%S_1$% и $%S_2$%. Отсюда площадь параллелограмма с основанием $%a_2$% и высотой $%h_1$% равна квадратному корню из произведения площадей $%S_1$% и $%S_2$%. Аналогично находяться площади остальных параллелограммов. Поэтому площадь треугольника будет $%S_1+S_2+S_3+ \sqrt {S_1S_2}+ \sqrt {S_1S_3}+ \sqrt {S_2S_3}$%

ссылка

отвечен 12 Окт '14 17:30

изменен 12 Окт '14 22:54

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@sliy: тут надо немного подправить: площадь параллелограмма равна удвоенному квадратному корню, и итог будет равен $%(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2$%.

(12 Окт '14 17:55) falcao

@falcao: спасибо за поправку, решал в уме, отсюда и ошибка

(12 Окт '14 18:54) sliy

@sliy, обьясните пожалуйста, почему и по какому закону вы возвели высоту в квадрат.Заранее спасибо.

(12 Окт '14 19:52) 1_ilya_1

@1_ilya_1: у подобных треугольников отношение площадей равно квадрату отношений линейных размеров. Если у одного из треугольников высота больше в 5 раз, то площадь будет больше в 25 раз.

(12 Окт '14 20:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×513
×404
×239

задан
12 Окт '14 12:51

показан
487 раз

обновлен
13 Окт '14 11:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru