математический-анализ - Как определить наибольшее и наименьшее значение функции?

На эту задачу удобно посмотреть с геометрической точки зрения. Неравенство $%(x-1)^2+(y-1)^2\le1$% задаёт круг с центром $%(1;1)$% радиусом $%1$%. Его достаточно просто нарисовать; он касается осей.

Теперь обратим внимание на то, что $%x^2+y^2$% есть квадрат расстояния от точки $%(x;y)$% до начала координат. Если он принимает наименьшее (наибольшее) значение, то величина $%z$% принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Из геометрических соображений сразу ясно, что ближайшая к началу координат точка круга и наиболее удалённая от него точка лежат на биссектрисе $%y=x$% первого координатного угла. Можно провести две окружности с центром в начале координат, касающиеся заданного круга. Поскольку расстояние от $%(0;0)$% до центра круга равно $%\sqrt2$%, наименьшее и наибольшее расстояние будут равны $%\sqrt2-1$% и $%\sqrt2+1$% соответственно.

Это граничные значения для расстояния, то есть для $%\sqrt{x^2+y^2}$%. Для $%x^2+y^2$% эти величины надо возвести в квадрат. Получится $%3-2\sqrt2\le x^2+y^2\le3+2\sqrt2$%, и тогда границы для $%z$% легко определяются: наименьшее значение равно $%-2(\sqrt2+1)$%, а наибольшее равно $%2(\sqrt2-1)$%.