|
Решить неравенство arcsin(x)> 2arccos(a) (а - параметр). задан 19 Апр '12 17:16 
Anatoliy |
|
Ясно, что $%-1\le a\le 1$%. Правая часть принимает значения от 0 до 2pi. Если она не меньше $%\pi/2$% (т.е. для $%a\le\sqrt 2/2$%), решения нет. В противном случае $%1\ge x > \sin(2arccos a)=2a\sqrt{1-a^2}$%. Итак, для $%a\in (\sqrt2/2,1]$% ответ $%1\ge x> 2a\sqrt{1-a^2}$%, для остальных a решений нет отвечен 19 Апр '12 18:28 
DocentI |
|
ОДЗ $% x\in[-1;1] $% , ОДЗ параметра а тоже [-1;1] Согласно определению арккосинуса $%0\le 2arccosa\le2\pi $%. Рассмотрим 2 случая 1) если $%0\le 2arccosa< \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt2}{2}< a\le 1$%. Тогда обе части неравенства находятся в промежутке $%[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] $%, где синус возрастает. Значит неравенсво равносильно $% sin(arcsinx)>sin(2arccosa)\Leftrightarrow 1\ge x>2a\sqrt{1-a^2}$% 2) Если $% 2arccosa\ge\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -1\le a\le\frac{\sqrt2}{2} $% Тогда неравенство не имеет решений, так как по определению $%-\frac{\pi}{2}\le arcsina\le \frac{\pi}{2}$% Ответ. $% (2a\sqrt{1-a^2};1]$%, при $% a\in(\frac{\sqrt2}{2};1]$% и $% \oslash$%, при $% a\in [-1;\frac{\sqrt2}{2}]$% отвечен 19 Апр '12 18:16 
ASailyan Наверное, в решении правая граница не (-1), а 1.
(19 Апр '12 22:33)
DocentI
Скорее в ответе? Я исправила.
(20 Апр '12 17:12)
ASailyan
Внимательнее просмотрите ответ.
(20 Апр '12 19:48)
Anatoliy
для |a|>1 тоже нет решений.
(20 Апр '12 20:23)
DocentI
|a|>1 не принадлежат ОДЗ параметра, при |a|>1 неравенство не имеет смысла(и конечно не имеет решений).
(20 Апр '12 20:50)
ASailyan
|
Между прочим, решение @ASailyan было более точным, я свое подправила по ее. Думаю, лучше принять ее решение.