Решить неравенство arcsin(x)> 2arccos(a) (а - параметр).

задан 19 Апр '12 17:16

изменен 19 Апр '12 17:53

DocentI's gravatar image


9.8k1039

Между прочим, решение @ASailyan было более точным, я свое подправила по ее. Думаю, лучше принять ее решение.

(19 Апр '12 22:36) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ясно, что $%-1\le a\le 1$%. Правая часть принимает значения от 0 до 2pi. Если она не меньше $%\pi/2$% (т.е. для $%a\le\sqrt 2/2$%), решения нет. В противном случае $%1\ge x > \sin(2arccos a)=2a\sqrt{1-a^2}$%.

Итак, для $%a\in (\sqrt2/2,1]$% ответ $%1\ge x> 2a\sqrt{1-a^2}$%, для остальных a решений нет

ссылка

отвечен 19 Апр '12 18:28

изменен 20 Апр '12 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
2

ОДЗ $% x\in[-1;1] $% , ОДЗ параметра а тоже [-1;1] Согласно определению арккосинуса $%0\le 2arccosa\le2\pi $%.

Рассмотрим 2 случая

1) если $%0\le 2arccosa< \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt2}{2}< a\le 1$%.

Тогда обе части неравенства находятся в промежутке $%[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] $%, где синус возрастает.

Значит неравенсво равносильно $% sin(arcsinx)>sin(2arccosa)\Leftrightarrow 1\ge x>2a\sqrt{1-a^2}$%

2) Если $% 2arccosa\ge\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -1\le a\le\frac{\sqrt2}{2} $% Тогда неравенство не имеет решений, так как по определению $%-\frac{\pi}{2}\le arcsina\le \frac{\pi}{2}$%

Ответ. $% (2a\sqrt{1-a^2};1]$%, при $% a\in(\frac{\sqrt2}{2};1]$% и $% \oslash$%, при $% a\in [-1;\frac{\sqrt2}{2}]$%

ссылка

отвечен 19 Апр '12 18:16

изменен 20 Апр '12 20:11

Наверное, в решении правая граница не (-1), а 1.

(19 Апр '12 22:33) DocentI

Скорее в ответе? Я исправила.

(20 Апр '12 17:12) ASailyan

Внимательнее просмотрите ответ.

(20 Апр '12 19:48) Anatoliy

для |a|>1 тоже нет решений.

(20 Апр '12 20:23) DocentI

|a|>1 не принадлежат ОДЗ параметра, при |a|>1 неравенство не имеет смысла(и конечно не имеет решений).

(20 Апр '12 20:50) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,946
×424

задан
19 Апр '12 17:16

показан
1137 раз

обновлен
20 Апр '12 20:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru