пределы - Отрицание пределов

1) В отрицающих формулах желательно не указывать, что от чего зависит. Это необязательная "добавка"; она делается для того, чтобы лишний раз пояснить, что значение $%\delta$% может быть разным для разных $%\varepsilon$%. Но по правилам математической логики, если квантор по $%\delta$% следует за квантором по $%\varepsilon$%, оно так и должно быть.

При рассмотрении отрицания формул учёт этой "добавки" приводит к не имеющим смысла вещам. Допустим, у нас было $%(\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta(\varepsilon) > 0)$%, и далее что-то написано. Тогда у отрицания высказывания получится $%(\exists\varepsilon > 0)(\forall\delta(\varepsilon) > 0)$%, что читается так: существует некое фиксированное "эпсилон" такое, что для всех "дельта", зависящих от этого фиксированного числа, нечто выполняется. Понятно, что от фиксированного числа ничего зависеть не может.

В таких случаях лучше всего менять $%\varepsilon$% на $%\varepsilon_0$%, как часто делают в книгах. Тогда становится понятно, что существует некое фиксированное число, такое, что какое бы потом мы ни взяли положительное "дельта", будет иметь место то, что после этого написано: $%(\exists\varepsilon_0 > 0)(\forall\delta > 0)$%.

2) Выражение "предела в точке A не существует" неверно отражает смысл того, что мы пишем. Во-первых, предел при $%n\to\infty$% -- это предел в "точке", равной бесконечности. Скажем, запись $%\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$% читается как "предел функции $%f$% в точке $%a$% равен $%A$%". Имелось в виду,что значение предела равно $%A$%, а не точка, в которой предел рассматривается. Во-вторых, когда мы отрицаем тот факт, что предел равен $%A$%, то утверждаем мы следующее. Предела или не существует, или он существует, но равен чему-то, отличному от $%A$%. На самом деле, этого всего было бы лучше не говорить, а просто написать отрицание высказывания.

3) Как уже отмечалось в одном из прошлых вопросов на ту же тему, при взятии отрицания все "внутренние" кванторы меняются на противоположные, сколько бы их ни было. А само бескванторное высказывание заменяется своим отрицанием. У неравенства $%a < b$% отрицанием будет не $%a > b$%, а $%a\ge b$%. Поэтому отрицанием того, что $%\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$% будет следующее: $%(\exists\varepsilon_0 > 0)(\forall N\in\mathbb N)(\exists n > N)\colon|a_n-A|\ge\varepsilon_0$%.

Для отрицания $%\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$% всё надо скорректировать в соответствии со сказанным выше.

4) Для критерия сходимости последовательности по Коши, не $%x$% стремится к нулю, а $%n$% стремится к бесконечности. Утвердительное высказывание: $%(\forall\varepsilon > 0)(\exists N\in\mathbb N)(\forall m,n > N)\colon|x_m-x_n| < \varepsilon$%. На упрощённом уровне, это означает, что $%|x_m-x_n|\to0$%, но этого добавлять не надо, так как всё уже сказано на строгом уровне. Отрицание будет иметь вид $%(\exists\varepsilon_0 > 0)(\forall N\in\mathbb N)(\exists m,n > N)\colon|x_m-x_n|\ge\varepsilon_0$%.

Для критерия Коши, относящегося к пределам функций, в самом конце, конечно, должно быть $%\varepsilon$%, а отрицание составляется аналогично.