В урне лежат красные и черные шары. Если из ящика наугад выбрать последовательно три шара, то вероятность того, что они красные равна 1/3. Какое минимально возможное число шаров в урне?

задан 19 Апр '12 17:26

изменен 19 Апр '12 22:29

DocentI's gravatar image


9.8k837

:-)) Вытянутый шар - это эллипсоид.

(19 Апр '12 18:33) DocentI

Не всегда:-)).

(19 Апр '12 18:36) Anatoliy

Шары возвращаются в урну, или выбранный шар "выбрасывается"?

(19 Апр '12 19:22) onesickbastard

Не возвращаются.

(19 Апр '12 19:43) Anatoliy

"С возвращением" точно не получится 1/3. И так-то что-то не видно ответа.

(19 Апр '12 22:29) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вычислительный эксперимент показал, что вероятность может иметь вид $%1/n$% для n, равных 2, 4, 5, 6, 7, 9, ...

Думаю, что вероятность вообще не может быть равной ровно 1/3. Если у нас n+1 шар, из которых m+1 - красных (обозначаю так для удобства вычислений), то искомая вероятность равна $%{m+1\over n+1}\cdot{m\over n}\cdot{m-1\over n-1}={1\over 3}$%. Значит, $%{n+1\over m+1}\cdot{n\over m}\cdot{n-1\over m-1}=3$%. Из трех дробей первая - наименьшая, третья - наибольшая, так что $%({n+1\over m+1})^3< 3<({n-1\over m-1})^3$%, откуда $%{n+1\over m+1}< \sqrt[3]3<{n-1\over m-1}$%.

Решая двойное неравенство, получаем, что $%\alpha m-(\alpha-1)< n< \alpha m+(\alpha-1)$%, где через $%\alpha$% обозначен $%\sqrt[3]3$%.

Таким образом, "зазор" в который должно попасть число n при фиксированном m не больше $%2(\sqrt[3]3-1)<0,9$%. Т.е. каждому m соответствует не более одного n.

Для "небольших" m (не более 100) я проверила отношения на Excel, ровно 1/3 нигде не получилось. С ростом m надежда на то, что дробь $%{n+1\over m+1}\cdot{n\over m}\cdot{n-1\over m-1}$% сократится становится все меньше.

Но, конечно, это нельзя считать доказательством.

Дополнение. Проверка других вероятностей показала, что, например, 1/20 соответствует не только 3 шарам из 6, но и 78 из 210. Так что есть надежда, что где-то для больших m (> 300) появится и вероятность 1/3.

ссылка

отвечен 20 Апр '12 0:58

изменен 20 Апр '12 1:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×102
×100

задан
19 Апр '12 17:26

показан
961 раз

обновлен
20 Апр '12 1:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru