аналитическая-геометрия - Как составить уравнение прямой?

а) Прямая которая проходит через точку $%A(1,3,2)$% и параллельно плоскости $%Oxy$% можно задать системой $%z=2, y=kx+b.$% Искомая прямая и прямая $%x=y, z=0$% принадлежат параллельным плоскостям $%z=0,z=3.$% Следовательно, чтобы найти $%k$% и $%b$%, достаточно переносить прямую $%y=kx+b$% в плоскость $%z=0,$% и решить соответственную планиметрическую задачу. Так как прямая $%x=y$% с осями $%Ox$% и $%Oy$% образует угол $%45^0$%, то решениями будут прямые $%y=3$% и $%x=1$%, которые параллельны осям координат.

Ответ. $%(y=3,z=2)$% и $%(x=1,z=2).$%

б)Составить уравнение прямой, проходящей через точку $%A(1, 3, 2)$% параллельно плоскости $%Oxy$% и образующей:
угол $%{\rm arcsin}\frac {1}{\sqrt{10}}$% с плоскостью $%x - y = 1$%.

Плоскость $%x - y = 1$% перпендикулярна плоскости $%z=2$%, в которой находится искомая прямая, проекция искомой прямой лежит на линии пересечения плоскостей $%z=2$% и $%x - y = 1$%. Аналогично предыдущей задачи, достаточно переносить прямую $%y=kx+b$% в плоскость $%z=0,$% и решить соответственную планиметрическую задачу-Найти уравнение прямой, которая проходит через точку $%A(1,3)$% и образует угол $%{\rm arcsin}\frac {1}{\sqrt{10}}$% с прямой $%x - y = 1$%. Расстояние точки $%A$% от прямой $%x - y = 1$% рaвeн $%\frac{3}{\sqrt{2}}.$% Пуcть точка пересечения искомой линии с прямой $%x - y = 1$% точка $%B,$% тогда $%AB=\frac3{\sqrt2}:\frac 1{\sqrt{10}}=3\sqrt5.$% Координаты точки $%B(x,x-1)$% найдем из уравнения $%(x-1)^2+(x-1-3)^2=45\Leftrightarrow x=7,x=-2.$% Значит прямая проходит через точки $%B_1(7,6)$% и $%B_2(-2,-3).$% Теперь легко найти уравнение $%AB,$% используя формулу $%\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}.$%

Ответ $%(2x-y+1=0,z=2)$% и $% (-x+2y-5=0,z=2).$%

Ниже приведен рисунок задачи b).