математический-анализ - Теория функции комплексного переменного

Прежде всего, $%\frac{3+i}{3-i}=\frac{(3+i)^2}{(3+i)(3-i)}=\frac{8+6i}{10}=\frac45+\frac35i$%. Это число представляем в тригонометрической форме. Его модуль равен единице. Значит, оно имеет вид $%\cos\alpha+i\sin\alpha$%, где $%\cos\alpha=\frac45$% и $%\sin\alpha=\frac35$%. В соответствии с общей процедурой извлечения корня, $%\sqrt{\frac{3+i}{3-i}}=\sqrt{\cos\alpha+i\sin\alpha}=\pm(\cos(\alpha/2)+i\sin(\alpha/2))$%. В соответствии с формулами для косинуса и синуса половинного угла, где все углы являются острыми, получается $%\cos(\alpha/2)=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}=\frac3{\sqrt{10}}$% и $%\sin(\alpha/2)=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}=\frac1{\sqrt{10}}$%. Поэтому получается два значения корня: $%\pm\frac{3+i}{\sqrt{10}}$%.