сходимость-ряда - Исследовать последовательность на сходимость, пользуясь критерием Коши.

Выражение в числителе здесь стремится к единице, а в знаменателе можно выделить "главный член" $%k^2$%: при больших значениях $%k$% вторым членом можно пренебречь. Получается, что ряд ведёт себя подобно ряду с общим членом $%1/k^2$%, который является сходящимся. Поэтому будет доказывать сходимость ряда, делая оценки сверху.

Прежде всего, числитель можно оценить константой, так как $%2014^{1/k}\le2014$% при всех натуральных $%k$%. Далее, знаменатель будем оценивать снизу, доказывая, что $%k^2-k^{5/3}\ln k > k^2/2$% для достаточно больших $%k$%. Это условие равносильно $%k^{1/3} > 2\ln k$%, и оно верно при всех $%k\ge k_0$%, так как логарифм растёт медленнее степенной функции. Явный вид $%k_0$% можно не уточнять.

Для краткости введём обозначение $%a_k=\frac{2014^k}{k^2-k^{5/3}\ln k}$%. Из сказанного нами следует, что при $%k\ge k_0$% имеет место оценка сверху $%a_k < C/k^2$%, где $%C=4028$%. Тогда при $%m > n$% получается $%|x_m-x_n|=x_m-x_n=a_{n+1}+\cdots+a_m < C(\frac1{(n+1)^2}+\cdots+\frac1{m^2})$%. Выражение в скобках можно оценить сверху величиной $%\frac1{n(n+1)}+\cdots+\frac1{(m-1)m}=\frac1m-\frac1{m+1}+\frac1{m+1}-\frac1{m+2}+\cdots+\frac1{m-1}-\frac1m=\frac1n-\frac1m < \frac1n$%, так как в середине всё сокращается. Остаётся потребовать, чтобы выполнялось неравенство $%C/n < \varepsilon$%, что будет иметь место при $%n > C/\varepsilon$%. Тогда, беря натуральное число $%N > \max(k_0,C/\varepsilon)$%, мы имеем при всех $%m,n > N$%, что $%|x_m-x_n| < \varepsilon$%, откуда по критерию Коши вытекает сходимость ряда.