теория-вероятностей - Вероятность выложить слово "обезьяна"

Представим нужное событие в виде произведения событий: А - выбраны 8 нужных букв, В - осталось ровно 6 гласных, С - обезьяна выбрала правильный порядок. Тогда искомая вероятность

$$P=P(A/B)\cdot P(C/(A/B))=\frac { P(A\cdot B) }{ P(B) }\cdot P(C/(A/B))=\frac { \frac { 1 }{ { C }{ 33 }^{ 8 } } }{ \frac { { C }{ 10 }^{ 4 }\cdot { C }{ 23 }^{ 4 } }{ { C }{ 33 }^{ 8 } } } \cdot \frac { 1 }{ 8! } =\frac { 1 }{ { C }{ 10 }^{ 4 }\cdot { C }{ 23 }^{ 4 }\cdot 8! }.$$

Изменил решение. У меня при правке все отображается правильно. Набирал в Daum Equation Добавляю картинку.

Согласен с решением DocentI, но я бы его проинтерпретировал чуть-чуть по-другому. Т.к. известно, сколько выбрано гласных и сколько негласных, то выбор гласных и выбор негласных можно считать отдельными независимыми испытаниями. Таким образом, у нас есть последовательность трех независимых испытаний

1. Выбор гласных, вероятность успеха $%\frac{1}{C_{10}^4} $%
2. Выбор негласных, вероятность успеха $%\frac{1}{C_{23}^4} $%
3. Расстановка карточек, вероятность успеха $%\frac{1}{8!} $%

Испытания независимы, поэтому результирующая вероятность равна произведению этих вероятностей.

Вначале рассмотрим следующую задачу:

"На полу рассыпаны 33 магнитика в виде [прописных] букв русского алфавита (по одной каждая). Двухлетний ребёнок взял один из магнитиков и отнёс его своей маме. Какова вероятность того, что мама ребёнка опознала в этом магнитике предлог "о", если 9 оставшихся на полу магнитиков имеют вид гласных букв русского алфавита?"

Предположим, что ответ к указанной задаче имеет вид $% P(33, 1) = \frac{1}{33} = \frac{32!}{33!} = \frac{(33 - 1)!}{33!} $%.

В таком случае, можно ожидать, что ответ к задаче про обезьяну должен иметь вид $%P(33, 8) = \frac{(33-8)!}{33!}$%

К слову (о сочетаниях с условиями)

Во-первых, договоримся, что $%\forall k \forall n (k \in \mathbb{Z} \wedge n \in \{0\} \cup \mathbb{N} \rightarrow (0 \leq k \leq n \rightarrow C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}) \wedge (k < 0 \vee k > n \rightarrow C_n^k = 0))$%

Во-вторых, будем использовать натуральные кванторы. Например: $%\exists^{= 2}x(P[x]) \Leftrightarrow \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \forall y (P[y] \leftrightarrow y \in \{x_1, x_2\}))$%, $%\exists^{\geq 2}x(P[x]) \Leftrightarrow \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \forall y (y \in \{x_1, x_2\} \rightarrow P[y]))$%, $%\exists^{\leq 2}x(P[x]) \Leftrightarrow \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \forall y (P[y] \rightarrow y \in \{x_1, x_2\}))$%.

В-третьих, допустим, что

$%Al = \{$%а,б,в,...,э,ю,я$%\} \wedge card(Al) = 33$%.

В таком случае, несомненно, что

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\}) = C_{33}^8 $%

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge S \in \{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\}$%

В-четвёртых, допустим, что

1) $%Al = \{$%а,б,в,...,э,ю,я$%\} \wedge card(Al) = 33$%,

1.1) $%Vl = \{$%а,я,э,е,о,ё,у,ю,ы,и$%\} \wedge Vl \subseteq Al \wedge card(Vl) = 10$%.

В таком случае, можно предположить следующее:

0) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\}) = $%

$%C_{33}^8 = \sum_{i=0}^8 C_{10}^i \cdot C_{33 - 10}^{8 - i} = \sum_{i=0}^8 C_{10}^i \cdot C_{23}^{8 - i}$%,

1) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{= 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 4 \}) = $%

$% \sum_{i=4}^4 C_{10}^i \cdot C_{33-10}^{8-i} = C_{10}^4 \cdot C_{33 - 10}^{8 - 4} = C_{10}^4 \cdot C_{23}^4 $%,

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) = 4$%

2) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{\geq 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) \geq 4 \}) = $%

$%\sum_{i=4}^8 C_{10}^i \cdot C_{33 - 10}^{8 - i} $%,

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) \geq 4$%

3) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{\leq 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) \leq 4 \}) = $%

$%\sum_{i=0}^4 C_{10}^i \cdot C_{33 - 10}^{8 - i} $%.

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) \leq 4$%

4) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{\geq 3} x (x \in S \cap Vl) \wedge \exists^{\leq 5} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge 3 \leq card(S \cap Vl) \leq 5 \}) = $%

$%\sum_{i=3}^5 C_{10}^i \cdot C_{33 - 10}^{8 - i} $%.

5) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge (\exists^{= 3} x (x \in S \cap Vl) \vee \exists^{= 5} x (x \in S \cap Vl))\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) \in \{3, 5\} \}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 3\} \ \cup \ \{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 5\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 3\}) \ + \ card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 5\}) = $%

$%C_{10}^3 \cdot C_{33 - 10}^{8 - 3} + C_{10}^5 \cdot C_{33 - 10}^{8 - 5} $%.

6) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge (\exists^{\leq 3} x (x \in S \cap Vl) \vee \exists^{\geq 5} x (x \in S \cap Vl))\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge (\neg \exists^{\geq 4} x (x \in S \cap Vl) \vee \neg \exists^{\leq 4} x (x \in S \cap Vl))\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \neg (\exists^{\geq 4} x (x \in S \cap Vl) \wedge \exists^{\leq 4} x (x \in S \cap Vl))\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \neg \exists^{= 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\} \ \setminus \ \{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{= 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\}) \ - \ card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{= 4} x (x \in S \cap Vl)\}) = $%

$%C_{33}^8 - C_{10}^4 \cdot C_{33 - 10}^{8 - 4} $%

Предыдущее уже позволяет решить следующую задачу: "Какова вероятность, что представитель отряда Primates, способный воспроизводить все прописные буквы русского алфавита, случайно напишет слово "тётка"?"

Решение

Предположим, что обезьяне приглянулась буква "т". Тогда:

1) $%X = Al \cup \{$%т'$%\} \wedge card(X) = card(Al) + 1 = 34 \wedge Y = \{$%т, т'$%\} \wedge Y \subseteq X \wedge card(Y) = 2$%,

2) $% card(\{S| S \subseteq X \wedge card(S) = 5 \wedge \exists^{= 2} x (x \in S \cap Y)\}) = C_2^2 \cdot C_{34 - 2}^{5 - 2}$%,

3) число перестановок, образуемых из множества {т,ё,т',к,а} равно 5!, а число перестановок, образуемых из множества {т,ё,т,к,а} равно 5!/2!.

Ответ: $%P = (C_2^2 \cdot C_{34 - 2}^{5 - 2} \cdot \frac{5!}{2!})^{-1} \wedge 1 > P > (card(Al))^{-5} = (33)^{-5}$%

В-пятых, допустим, что

1) $%Al = \{$%а,б,в,...,э,ю,я$%\} \wedge card(Al) = 33$%,

1.1) $%Vl = \{$%а,я,э,е,о,ё,у,ю,ы,и$%\} \wedge Vl \subseteq Al \wedge card(Vl) = 10$%.

1.2) $%Sl = \{$%й,ь,ъ$%\} \wedge Sl \subseteq Al \wedge card(Sl) = 3 \wedge Sl \cap Vl = \varnothing $%.

В таком случае, можно предположить следующее:

0) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8\}) = $%

$%C_{33}^8 = \sum_{i=0}^8 C_{10}^i \cdot C_{33 - 10}^{8 - i} = \sum_{i=0}^8 C_{10}^i \cdot ( \sum_{j=0}^3 C_{3}^j \cdot C_{(33 - 10) - 3}^{(8 - i) - j}) = \sum_{i=0}^8 \sum_{j=0}^3 C_{10}^i \cdot C_{3}^j \cdot C_{33 - (10 + 3)}^{8 - (i + j)}$%,

1) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{= 4} x (x \in S \cap Vl) \wedge \exists^{=1} x (x \in S \cap Sl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) = 4 \wedge card(S \cap Sl) = 1 \}) = $%

$% \sum_{i=4}^4 \sum_{j=1}^1 C_{10}^i \cdot C_3^j \cdot C_{33-(10 + 3)}^{8-(i + j)} = C_{10}^4 \cdot C_3^1 \cdot C_{33 - (10 + 3)}^{8 - (4 + 1)} = C_{10}^4 \cdot C_3^1 \cdot C_{20}^3 $%,

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) = 4 \wedge card(S \cap Sl) = 1 $%

2) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{\geq 4} x (x \in S \cap Vl) \wedge \exists^{\leq 1} x (x \in S \cap Sl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) \geq 4 \wedge card(S \cap Sl) \leq 1 \}) = $%

$% \sum_{i=4}^8 \sum_{j=0}^1 C_{10}^i \cdot C_3^j \cdot C_{33-(10 + 3)}^{8-(i + j)} $%,

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ь,я,н,а$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) \geq 4 \wedge card(S \cap Sl) \leq 1 $%

3) $% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge \exists^{\leq 3} x (x \in S \cap Vl) \wedge \exists^{\geq 2} x (x \in S \cap Sl)\}) = $%

$% card(\{S| S \subseteq Al \wedge card(S) = 8 \wedge card(S \cap Vl) \leq 3 \wedge card(S \cap Sl) \geq 2 \}) = $%

$% \sum_{i=0}^3 \sum_{j=2}^3 C_{10}^i \cdot C_3^j \cdot C_{33-(10 + 3)}^{8-(i + j)} $%,

Пример: $% S=\{$%о,б,е,з,ъ,й,а,н$%\} \rightarrow S \subseteq Al \wedge card(S)=8 \wedge card(S \cap Vl) \leq 3 \wedge card(S \cap Sl) \geq 2 $% В-шестых, допустим, что

1) $%Al = \{$%а,б,в,...,э,ю,я$%\} \wedge card(Al) = 33$%,

1.1) $%Vl = \{$%а,я,э,е,о,ё,у,ю,ы,и$%\} \wedge Vl \subseteq Al \wedge card(Vl) = 10$%.

1.1.1) $%VDl = \{$%я,е,ё,ю,и$%\} \wedge VDl \subseteq Vl \wedge card(VDl) = 5$%.

1.2) $%Sl = \{$%й,ь,ъ$%\} \wedge Sl \subseteq Al \wedge card(Sl) = 3 \wedge Sl \cap Vl = \varnothing $%.