система-уравнений - Система с параметром

Задача:

Найдите все значения параметра $%a$%, при которых система $$\begin{cases}{\log _{{a^2}}}y = {({x^2} + 3x + 2)^4}\\ - {x^2} + y = 3x + 2\end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Решение:

Представим систему в данном виде $$\begin{cases}{\log _{{a^2}}}y = {({x^2} + 3x + 2)^4}\\ y ={x^2} + 3x + 2\end{cases}$$

Второе уравнение системы $%y = {x^2} + 3x + 2$% не имеет решений при $%y < - \frac{1}{4}$%, имеет одно решение $%({x_0};{y_0})$% при $%y = - \frac{1}{4}$% и два решения $%({x_1};{y_0})$%, $%({x_2};{y_0})$% при $%y > - \frac{1}{4}$%.

Исследуем уравнение $%{\log {{a^2}}}y = {y^4}$%. Найдем точку касания $%f(y) = {\log {{a^2}}}y$% и $%g(y) = {y^4}$%. Известно, что если $%{y_0}$% - точка касания функций $%f(y)$% и $%g(y)$%, то в данной точке значение данных функций совпадает со значением производных данных функций. То есть должно выполнятся равенство заданное системой

$$\begin{cases}f({y_0}) = g({y_0})\\f'({y_0}) = g'({y_0})\end{cases}$$

Следовательно $$\begin{cases}{\log {{a^2}}}{y{0}} = y_0^4\\\frac{1}{{{y_0}\log {a^2}}} = 4y_0^3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{\log {{a^2}}}{y{0}} = y_0^4\\\frac{1}{{\log {a^2}}} = 4y_0^4\end{cases} \Leftrightarrow {y_0} = {e^{\frac{1}{4}}}$$

Параметр $%a$% в точке $%{y_0} = {e^{\frac{1}{4}}}$% может принимать значения $%a = \pm {e^{\frac{1}{{8e}}}}$%

Не сложно заметить, что при $%a \in ( - {e^{\frac{1}{{8e}}}}; - 1) \cup (1;{e^{\frac{1}{{8e}}}})$% функции $%f(y)$% и $%g(y)$% имеют две общие точки, такие что, $$f({y_1}) = g({y_1}) > - \frac{1}{4}{\text{ и }}f({y_2}) = g({y_2}) > - \frac{1}{4}$$

Это значит, что при данных значениях параметра исходная система будет иметь 4 решения $$({x_1};{y_1}),({x_2};{y_1}),({x_3};{y_2}),({x_4};{y_2})$$

Единственную общую точку функции $%f(y)$% и $%g(y)$% будут иметь при $$a \in ( - 1;0) \cup (0;1) \cup \{ \pm {e^{\frac{1}{{8e}}}}\} $$

Исходная система будет иметь 2 решения $%({x_1};{y_0}),({x_2};{y_0})$%. При других значениях параметра решений нет.

Ответ: $%a \in ( - 1;0) \cup (0;1) \cup \{ \pm {e^{\frac{1}{{8e}}}}\} $%.

Примечание: Значения $%a = \pm {e^{\frac{1}{{8e}}}}$% можно проверить. $${\log _{{e^{\frac{1}{{4e}}}}}}{e^{\frac{1}{4}}} = e = {({x^2} + 3x + 2)^4}$$

$${\log _{{e^{\frac{1}{{4e}}}}}}{e^{\frac{1}{4}}} = e = {({x^2} + 3x + 2)^4} \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = \root 4 \of e = {e^{\frac{1}{4}}}$$

Получаем два решения: $$( - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt {1 + 4 \cdot \root 4 \of e } }}{2};{e^{\frac{1}{4}}}){\text{ и }}( - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {1 + 4 \cdot \root 4 \of e } }}{2};{e^{\frac{1}{4}}})$$.