Дан отрезок длины $%a$% и три окружности радиуса $%R$%, имеющие центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

задан 15 Окт '14 21:34

изменен 15 Окт '14 22:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

А что подразумевается под касанием в данной задаче? Окружность не может касаться трёх других с одинаковым радиусом и центрами на одной прямой не пересекая одну из них (или одна будет находится внутри?), но пересечение это же не касание

(14 Май '15 2:02) Isaev

@Isaev: касание понимается в обычном смысле: одна (и только одна) общая точка. То, что такое касание невозможно -- это так только кажется. Посмотрите решение -- из него станет ясно, как могут располагаться окружности.

(14 Май '15 2:09) falcao

@falcao, нарисовать есть возможность? Я всё равно не представляю построения.

(14 Май '15 2:43) Isaev

@Isaev: рисунки в электронном виде я не умею делать, к сожалению. Но я думаю, что если прочитать решение, то всё постепенно станет ясно. Там указаны и расположения центром, и радиусы. На клетчатой бумаге это всё легко рисуется.

(14 Май '15 2:50) falcao

Посижу завтра часик, разберусь. А на счёт рисунков напрасно, на таких сайтах или форумах часто бывает очень полезно. Могу порекомендовать http://www.geogebra.org документация у них есть и на русском со многими примерами, большая база работ пользователей, разобраться можно буквально за несколько часов, чтобы простенькие чертежи составлять, умеет экспортировать в графические форматы, очень удобно

(14 Май '15 3:23) Isaev

@Isaev: да, я про существование этой программы знаю, но это действительно требует освоения, а для меня подобные вещи сродни тому, чтобы научиться водить машину :) То есть это вроде бы "просто", и "все умеют", но ...

(14 Май '15 8:50) falcao

@falcao, у нас она просто в школькой программе, потому пришлось освоить, т.к. сын начал задавать вопросы по ней :)

(14 Май '15 16:30) Isaev

@Isaev: Ваш пример наводит меня на мысль о "разрыве поколений" :) Дело в том, что я каждый год имею дело с новым "потоком" первокурсников, и вижу, что какие-то вещи, которые раньше умели и знали все, люди постепенно разучиваются делать в массе своей (как правило, это что-то самое простое). Зато быстро осваивают всякие электронные средства. Тут есть над чем задуматься.

Раз Вы хорошо освоили программу, то можете в ней сделать чертёж, подставляя туда данные из решения (для каких-то a, R, x). Тогда всё будет наглядно. Типов касания там много.

(14 Май '15 17:38) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Неизвестный радиус обозначим через $%x$%.

Если окружности касаются, то расстояние между их центрами равно либо сумме радиусов, либо модулю их разности. Поскольку для расстояния имеется только два значения, а центров три, какие-то два расстояния совпадут, и центр четвёртой окружности должен быть равноудалён от каких-то двух точек из трёх.

Если он равноудалён от концов отрезка, то расстояние до них равно $%R+x$%, а до середины отрезка расстояние равно $%|R-x|$%, поскольку оно меньше. Тогда по теореме Пифагора $%(R+x)^2-(R-x)^2=(a/2)^2$%, и $%x=\frac{a^2}{16R}$%. Заметим, что случай $%x=R$% надо исключить, так как при этом четвёртая окружность совпадёт со второй, что не считается касанием. То есть при $%a=4R$% такая возможность пропадает.

Теперь пусть центр четвёртой окружности равноудалён от одного из концов и от середины отрезка. Сравнение длин наклонных показывает, что равные между собой расстояния составляют $%|R-x|$%, так как они меньше, а третье расстояние равно $%R+x$%. Теперь теорема Пифагора даёт уравнение $%(R+x)^2-(3a/4)^2=h^2=(R-x)^2-(a/4)^2$%, где $%h$% -- расстояние от неизвестного центра до отрезка. Здесь $%x=\frac{a^2}{8R}$%.

Но такой случай возможен не всегда, поскольку здесь должно выполняться неравенство $%R+x\ge3a/4$%. Полагая $%t=a/R$% и деля на $%R$% обе части неравенства, имеем $%1+t^2/8\ge3t/4$%, откуда $%t^2-6t+8=(t-2)(t-4)\ge0$%. Таким образом, соответствующее построение возможно при $%a/R\le2$% или $%a/R\ge4$%.

Таким образом, при $%a\le2R$% и при $%a > 4R$% имеем два решения $%x=\frac{a^2}{16R}$% и $%x=\frac{a^2}{8R}$%. При $%a=4R$% подходит только второе из решений, а при $%2R < a < 4R$% -- только первое.

ссылка

отвечен 16 Окт '14 0:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,767
×697
×248

задан
15 Окт '14 21:34

показан
765 раз

обновлен
14 Май '15 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru