геометрия - Задача по планиметрии

Неизвестный радиус обозначим через $%x$%.

Если окружности касаются, то расстояние между их центрами равно либо сумме радиусов, либо модулю их разности. Поскольку для расстояния имеется только два значения, а центров три, какие-то два расстояния совпадут, и центр четвёртой окружности должен быть равноудалён от каких-то двух точек из трёх.

Если он равноудалён от концов отрезка, то расстояние до них равно $%R+x$%, а до середины отрезка расстояние равно $%|R-x|$%, поскольку оно меньше. Тогда по теореме Пифагора $%(R+x)^2-(R-x)^2=(a/2)^2$%, и $%x=\frac{a^2}{16R}$%. Заметим, что случай $%x=R$% надо исключить, так как при этом четвёртая окружность совпадёт со второй, что не считается касанием. То есть при $%a=4R$% такая возможность пропадает.

Теперь пусть центр четвёртой окружности равноудалён от одного из концов и от середины отрезка. Сравнение длин наклонных показывает, что равные между собой расстояния составляют $%|R-x|$%, так как они меньше, а третье расстояние равно $%R+x$%. Теперь теорема Пифагора даёт уравнение $%(R+x)^2-(3a/4)^2=h^2=(R-x)^2-(a/4)^2$%, где $%h$% -- расстояние от неизвестного центра до отрезка. Здесь $%x=\frac{a^2}{8R}$%.

Но такой случай возможен не всегда, поскольку здесь должно выполняться неравенство $%R+x\ge3a/4$%. Полагая $%t=a/R$% и деля на $%R$% обе части неравенства, имеем $%1+t^2/8\ge3t/4$%, откуда $%t^2-6t+8=(t-2)(t-4)\ge0$%. Таким образом, соответствующее построение возможно при $%a/R\le2$% или $%a/R\ge4$%.

Таким образом, при $%a\le2R$% и при $%a > 4R$% имеем два решения $%x=\frac{a^2}{16R}$% и $%x=\frac{a^2}{8R}$%. При $%a=4R$% подходит только второе из решений, а при $%2R < a < 4R$% -- только первое.