|
$$\begin{cases}1/(x + y + z) + 2 = 1/(y + z) \\ 1/(x + y + z) + 5 = 1/(x + z)\\ 1/(x + y + z) + 10 = 1/(x + y)\end{cases}$$ задан 16 Окт '14 15:04 
mnogovoprosov |
|
Обозначим $%x+y+z=t$% $% (a)\begin{cases}y+z=\frac t{1+2t}(1)\\x+z=\frac t{1+5t}(2) \\x+y=\frac t{1+10t}(3)\end{cases} \Rightarrow ((1)+(2)+(3)) \Rightarrow 2(x+y+z)=\frac t{1+2t}+\frac t{1+5t}+\frac t{1+10t}\Rightarrow $% $%\Rightarrow 2t=\frac t{1+2t}+\frac t{1+5t}+\frac t{1+10t}. $% Так как $%t\ne0, $% то получится рациональное уравнение $%\frac 1{1+2t}+\frac 1{1+5t}+\frac 1{1+10t}=2 \Rightarrow \frac 5{5+10t}+\frac 2{2+10t}+\frac {1}{1+10t}=2 . $% Обозначим $%10t=q,$% получим уравнение $%\frac 5{5+q}+\frac 2{2+q}+\frac {10}{1+q}=2 \Rightarrow q^3+4q^2-5=0 \Rightarrow (q-1)(q^2+5q+5)=0 \Rightarrow q=1, q=\frac{-5\pm\sqrt5}2$% И так $%t\ne0, $%то $%t=\frac1{10},t=\frac{-5\pm\sqrt5}{20}.$% Для каждого значения $%t,$% найдем $%x,y,z$% вычитая почленно из уравнения $%x+y+z=t$% каждое уравнение системы $%(a).$% отвечен 16 Окт '14 15:24 
ASailyan Можете, пожалуйста, поподробнее объяснить как Вы перешли от системы (а) к равенству t = 1/10...?
(16 Окт '14 15:44)
mnogovoprosov
@mnogovoprosov $$\frac{1}{{x + y + z}} = \frac{{1 - 2(y + z)}}{{y + z}} \Leftrightarrow y + z = \frac{{x + y + z}}{{1 + 2(x + y + z)}}$$ Далее то же самое проделывается со вторым и третьим уравнением системы. После нахождения $%t$% вычитаете почленно из $%x + y + z = t$%, то есть $$(x + y + z) - (y + z) = x = t - \frac{t}{{1 + 2t}} = \frac{{2{t^2}}}{{1 + 2t}} = \frac{{2 \cdot \frac{1}{{100}}}}{{1 + 2 \cdot \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{{60}}$$ и так далее...
(16 Окт '14 16:45)
night-raven
@mnogovoprosov: там на $%t\ne0$% надо сократить, а после этого получается кубическое уравнение, корни которого и были выписаны как результат.
(16 Окт '14 18:18)
falcao
@mnogovoprosov, подробности я добавила в решении.
(16 Окт '14 21:47)
ASailyan
|