алгебра - Наборы корней

1) Известно, что $%\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1$% для любого фиксированного положительного числа $%c$%. Если этим фактом воспользоваться, переходя к пределу в равенствах $%\sqrt[n]{a_1}+\cdots+\sqrt[n]{a_k}=\sqrt[n]{b_1}+\cdots+\sqrt[n]{b_m}$%, то получится, что сумма $%k$% единиц равна сумме $%m$% единиц. Это означает, что $%k=m$%.

Далее для унификации везде будем писать $%m$% вместо $%k$%.

2) В равенстве $%\sqrt[n]{a_1}+\cdots+\sqrt[n]{a_m}=\sqrt[n]{b_1}+\cdots+\sqrt[n]{b_m}$% в обеих частях вычтем по единице из каждого слагаемого, произведя умножение на $%n$%, то есть деление на $%1/n$%. Получится следующее равенство $$\frac{a_1^{1/n}-1}{1/n}+\cdots+\frac{a_m^{1/n}-1}{1/n}=\frac{b_1^{1/n}-1}{1/n}+\cdots+\frac{b_m^{1/n}-1}{1/n},$$ справедливое при всех $%n\ge2$%. Заметим, что для любого $%c > 0$% существует предел последовательности $%\frac{c^{1/n}-1}{1/n}$% при $%n\to\infty$%, равный пределу функции $%\frac{c^x-1}{x}$% при $%x\to0$%. Последний же есть не что иное как производная функции $%c^x$% в нуле, то есть $%(c^x)'=c^x\ln c$% при $%x=0$%, а это $%\ln c$%.

Таким образом, $%\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c^{1/n}-1}{1/n}=\ln c$%, откуда после перехода к пределу в равенствах из выделенной формулы получится $%\ln a_1+\cdots+\ln a_m=\ln b_1+\cdots+\ln b_m$%, что равносильно $%a_1\ldots a_m=b_1\ldots b_m$%.

3) Для доказательства последнего из утверждений заметим следующее. Пусть $%d$% -- произвольное натуральное число. Тогда все числа можно возвести в степень $%1/d$%, и они будут для любого $%n$% удовлетворять условию задачи ввиду того, что $%\sqrt[nd]{c}=\sqrt[n]{c^{1/d}}$%. Положим $%d=m!$% и рассмотрим числа $%x_i=a_i^{1/d}$% и $%y_i=b_i^{1/d}$% для всех $%i$% от $%1$% до $%m$%. Тогда у новых чисел будут равны суммы, суммы квадратов, суммы кубов, и так далее, вплоть до $%m$%-х степеней: $%x_1^s+\cdots+x_m^s=y_1^s+\cdots+y_m^s$% при всех $%s\in\{1,2,\ldots,m\}$%. Известно, что через суммы степеней можно выразить все симметрические многочлены от переменных: см. тождества Ньютона, задающие явный вид такого выражения. Тогда, в обозначениях по ссылке, будут выполняться равенства $%e_i(x_1,\ldots,x_m)=e_i(y_1,\ldots,y_m)$% при всех $%i$% от $%1$% до $%m$%. Заметим, что в предыдущем пункте шла речь про $%e_m$% (произведение переменных).

По теореме Виета, числа $%x_1$%, ... , $%x_m$%, равно как и числа $%y_1$%, ... , $%y_m$%, будут являться корнями (с учётом кратности) одного и того же многочлена степени $%m$%, а именно $%t^m-e_1t^{m-1}+e_2t^{m-2}-\cdots+(-1)^me_m=0$%. Отсюда следует, что наборы корней совпадают с точностью до перестановки. Тогда после возведения чисел в степень $%m!$% мы получим, что и для исходных наборов это так.

Какое-либо совсем элементарное доказательство последнего пункта задачи, не опирающееся на факты из алгебры, мне на данный момент не известно.