пределы - Решение предела

Поскольку $%2\pi$% является периодом тригонометрических функций, можно считать, что $%x\to0$%. При этом $%t=\sin2x\to0$%. Рассмотрим выражение $%3^t-1$% из знаменателя. Легко видеть, что $%\frac{3^t-1}t$% стремится к производной функции $%3^t$% в нуле, то есть к $%\ln3$%. Это значит, что $%3^t-1\sim t\ln3$%. В данном случае $%3^{\sin2x}-1\sim2x\ln3$%, так как синус бесконечно малого аргумента эквивалентен самому аргументу.

Используем также тот известный факт, что $%\ln(1+z)\sim z$% при $%z\to0$%. Это также легко выводится из рассмотрения производной в нуле. Тогда полагаем $%z=\cos x-1=-2\sin^2\frac{x}2\sim-2(\frac{x}2)^2=-\frac12x^2$%. При этом $%\ln\cos x=\ln(1+z)\sim z\sim-\frac12x^2$%. Делим числитель на знаменатель, одно $%x$% сократится, второе останется в числителе и будет стремиться к нулю. Знаменатель при этом стремится к ненулевой константе. Значит, предел равен нулю.