$$a_1=(2;1;1;0)$$ $$a_2=(4;1;-1;2)$$ $$a_3=(2;0;-1;-1)$$ $$a_4=(1;1;-1;1)$$ Найти размерность и базис пространства, натянутого на вектора.

Я так понимаю, размерность - это rank матрицы, составленной из сих векторов, если записать каждый из них в столбик (i.e. строка 1:2;4;2;1 и т.д.) (в данном случае rank=4, если я правильно посчитал), но что будет базисом?

задан 16 Окт '14 23:37

изменен 17 Окт '14 22:33

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Если ранг равен числу векторов, как в данном случае, то базисом будет вся система $%a_1$%, ... , $%a_4$%. В общем же случае базисом будет любая система из $%r$% векторов, где $%r$% равно рангу, при условии, что все векторы, не вошедшие в эту систему, можно через неё выразить.

Векторы лучше записывать не в столбцы, а в строки.

(16 Окт '14 23:56) falcao

@falcao thanx), а почему в строки?

(17 Окт '14 0:17) Saidasafi
1

@Saidasafi: для нахождения ранга это без разницы. Как я понимаю, Вы используете такой метод: рассматриваете систему с неопределёнными коэффициентами $%x_i$%, приравниваете к нулю каждую координату, а затем решаете однородную систему. Так делать можно, но это не лучший способ. Лучше всего из строк формировать матрицу, а в столбец свободных членов записывать символы $%a_i$%. Когда строки преобразуются, символы преобразуются вместе с ними. Если получилась нулевая строка, то это означает, что вектор, получающийся справа, равен нулевому. Тогда сразу возникают нужные соотношения между векторами.

(17 Окт '14 0:24) falcao

@falcao thanx)

(17 Окт '14 1:42) Saidasafi

@falcao а если всё же решать систему моим способом, то при составлении равенства, выражающего зависимость векторов, например, системы с n=4 и rank=2, я, если я выбрал x1 и x2 в качестве базисных переменных, выразить векторы a1 и a2 через a3 и a4? Или наоборот? Всё-таки слово базис говорит о том, что на нём базируются, т.е. выражать через базис?

(17 Окт '14 2:47) Saidasafi

@Saidasafi: базис в общем случае строится неоднозначно. Допустим, есть три вектора $%a=(5;2;-3)$%, $%b=(4;1;1)$%, $%c=(9;3;-2)$%. Здесь $%c=a+b$%; ранг равен двум. Одним из базисов будет $%a$%, $%b$%, при этом $%c$% выражается. Но можно было взять $%a$%, $%c$% в качестве базиса, выражая через них $%b$% как $%b=c-a$%. Это равноценные вещи. Важно, чтобы через векторы системы выражалось всё остальное. А сам выбор базиса принципиально неоднозначен, как и выбор любой системы координат.

(17 Окт '14 2:54) falcao

@falcao thanx. ) Возникает вопрос: почему если я решаю систему своим способом и нахожу ФСР - выражаю базисные переменные через свободные, то векторы с номерами, аналогичными номерам базисных переменных, нельзя выразить таким же способом через векторы, номера которых соответствуют номерам свободных переменных?
И ещё один вопрос: я решаю систему
(2,8,4,3)
(1,-3,-4,1)
(1,11,8,2)
(3,19,12,5)

вашим способом - выписываю матрицу горизонтально, обозначаю колонку свободных членов a1, a2, a3, a4 - получается, что a1=a2+a3;a4=2a2+a3, но a4 реально не равен этому; он равен 2a3+a2. Почему?

(17 Окт '14 3:24) Saidasafi

@Saidasafi: понятно, что если на самом деле a4=2a3+a2, а у Вас получилось по-другому, то где-то по ходу решения были перепутаны a2,a3. Значит, надо найти вычислительную ошибку.

Прямой связи между номерами векторов и номерами базисных переменных нет и не должно быть. Там совпадает только количество. А нумерация -- вещь произвольная. Например, можно переставить порядок строк. При этом в системе уравнений базисные неизвестные останутся теми же.

(17 Окт '14 3:34) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,324
×416
×216
×120

задан
16 Окт '14 23:37

показан
2459 раз

обновлен
17 Окт '14 3:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru