1. Как доказать, что функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда ее надграфик является выпуклым множеством?
    Я доказала, что если надграфик является выпуклым множеством, то функция выпукла вниз.
    Как в обратную сторону?
  2. Функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точно $%x_0$%. Пусть $%x_0$% - точка перегиба функции. Докажите, что $%f''(x_0)=0$%.
    Обратное неверно, это понятно.

Заранее огромное спасибо!

задан 17 Окт '14 21:54

изменен 18 Окт '14 13:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@DiNaMir: понятие выпуклой функции может быть определено несколькими способами. Не все они полностью взаимозаменяемы. Поэтому к данной задаче полезно приложить то определение, которое в Вашем курсе принимается за основу.

(17 Окт '14 22:14) falcao

Функция называется выпуклой вниз на (a;b) , если для каждого от кружка [x1;x2]€(a;b) выполнено условие : график функции лежит не выше графика прямой L , соединяющий (x1;f(x1)) и (x2;f(x2)) , то есть f(x)<=L(x) при любом х из [x1;x2].


@falcao, это определение

(17 Окт '14 22:29) DiNaMir
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Пусть функция выпукла вниз в смысле указанного выше определения. Докажем, что надграфик является выпуклым. Рассмотрим две различные точки надграфика $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$%. Это значит, что $%y_1\ge f(x_1)$% и $%y_2\ge f(x_2)$%. Если $%x_1=x_2$%, то отрезок, соединяющий точки, содержится в надграфике, так как ему принадлежит нижняя точка. Пусть $%x_1 < x_2$%. Тогда график функции между точками $%x_1$% и $%x_2$% лежит не выше графика линейной функции $%L(x)$%, соединяющего точки $%(x_1;f(x_1))$% и $%(x_2;f(x_2))$%. Тогда он тем более лежит не выше отрезка, соединяющего $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$%. Это следует из того, что если значения линейной функции в двух точках не уменьшились, то они не уменьшатся и в каждой из промежуточных точек, что геометрически очевидно. Значит, отрезок между $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$% целиком содержится в надграфике, и он является выпуклым множеством.

2) Поскольку вторая производная в точке $%x_0$% существует, достаточно опровергнуть случай $%f''(x_0) > 0$%. Случай $%f''(x_0) < 0$% полностью аналогичен. Рассмотрим уравнение касательной к графику функции $%f$% в точке $%x_0$%. Оно имеет вид $%y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$%. Пусть $%F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$% -- разность самой функции и линейной функции, определяемой уравнением касательной. Тогда $%F'(x)=f'(x)-f'(x_0)$% и $%F''(x)=f''(x)$% в той окрестности, где $%f$% дважды дифференцируема. Ввиду того, что $%F'(x_0)=0$% и $%F''(x_0)=f''(x_0) > 0$%, функция $%F(x)$% имеет в точке $%x_0$% локальный минимум. Но тогда график $%f(x)$% в окрестности точки $%x_0$% лежит по одну сторону от касательной, что не согласуется с понятием точки перегиба.

ссылка

отвечен 18 Окт '14 0:14

@falcao , спасибо вам большое ! А почему во второй задаче если F'(x0)=0 и F''(x0) >0 , то F(x) имеет локальный экстремум в х0 ?

(18 Окт '14 1:24) DiNaMir

@DiNaMir: такая теорема (достаточное условие экстремума) в курсах анализа обычно доказывается раньше. Сначала изучаются локальные экстремумы и свойства первой производной, а потом уже выпуклость-вогнутость и перегиб. Если надо, могу пару слов добавить по поводу доказательства этого факта. Суть в том, что производная там меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку.

(18 Окт '14 1:35) falcao

@falcao , у меня просто сразу после этой задачи в листочке идет такая : Пусть f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, причем f'(x0)=0 и a)f''(x0)>0 b)f''(x0)<0. Имеет ли f локальный экстремум, и если да, то какого типа ?

(21 Окт '14 18:00) DiNaMir

@DiNaMir: это как раз хорошо, потому что можно начать с решения второй задачи, а потом на неё сослаться при решении первой. Как я уже говорил, ранее должно было упоминаться достаточное условие локального экстремума. Обычно всегда отмечают, что $%f'(x_0)=0$% не означает наличие экстремума, но он будет, если $%f'$% при переходе через $%x_0$% меняет знак. Если с минуса на плюс, то $%f$% сначала убывает, а потом возрастает. Тогда она в точке имеет локальный минимум. На языке второй производной: если $%f''(x_0) > 0$%, то $%f'$% возрастает в точке $%x_0$%. Тогда она меняет знак с минуса на плюс.

(21 Окт '14 18:21) falcao

@falcao, спасибо большое!

(21 Окт '14 19:36) DiNaMir
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×572

задан
17 Окт '14 21:54

показан
1223 раза

обновлен
21 Окт '14 19:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru