функции - Выпуклая функция

1) Пусть функция выпукла вниз в смысле указанного выше определения. Докажем, что надграфик является выпуклым. Рассмотрим две различные точки надграфика $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$%. Это значит, что $%y_1\ge f(x_1)$% и $%y_2\ge f(x_2)$%. Если $%x_1=x_2$%, то отрезок, соединяющий точки, содержится в надграфике, так как ему принадлежит нижняя точка. Пусть $%x_1 < x_2$%. Тогда график функции между точками $%x_1$% и $%x_2$% лежит не выше графика линейной функции $%L(x)$%, соединяющего точки $%(x_1;f(x_1))$% и $%(x_2;f(x_2))$%. Тогда он тем более лежит не выше отрезка, соединяющего $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$%. Это следует из того, что если значения линейной функции в двух точках не уменьшились, то они не уменьшатся и в каждой из промежуточных точек, что геометрически очевидно. Значит, отрезок между $%(x_1;y_1)$% и $%(x_2;y_2)$% целиком содержится в надграфике, и он является выпуклым множеством.

2) Поскольку вторая производная в точке $%x_0$% существует, достаточно опровергнуть случай $%f''(x_0) > 0$%. Случай $%f''(x_0) < 0$% полностью аналогичен. Рассмотрим уравнение касательной к графику функции $%f$% в точке $%x_0$%. Оно имеет вид $%y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$%. Пусть $%F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$% -- разность самой функции и линейной функции, определяемой уравнением касательной. Тогда $%F'(x)=f'(x)-f'(x_0)$% и $%F''(x)=f''(x)$% в той окрестности, где $%f$% дважды дифференцируема. Ввиду того, что $%F'(x_0)=0$% и $%F''(x_0)=f''(x_0) > 0$%, функция $%F(x)$% имеет в точке $%x_0$% локальный минимум. Но тогда график $%f(x)$% в окрестности точки $%x_0$% лежит по одну сторону от касательной, что не согласуется с понятием точки перегиба.