множества - Мощность множеств

Биекцию между отрезком и интервалом можно построить так. Во-первых, достаточно взять отрезок $%[0;1]$% и интервал $%(0;1)$%, так как к этому случаю всё сводится. Во-вторых, выделим в интервале счётное множество, состоящее из чисел $%\frac12$%, $%\frac13$%, ... , $%\frac1n$%, ... . Отобразим $%(0;1)$% в $%[0;1]$% таким образом: положим $%f(\frac12)=0$%, $%f(\frac13)=1$% (пристраивая этим две новые точки отрезка), $%f(\frac14)=\frac12$%, ... , $%f(\frac1{n+2})=\frac1n$% при всех $%n\ge2$%. Если $%x$% не принадлежит выделенному счётному множеству, то полагаем $%f(x)=x$%. Легко видеть, что этим задана биекция интервала $%(0;1)$% на отрезок $%[0;1]$%, что доказывает равномощность.