отображения - Непрерывное отображение

а) Не существует, так как непрерывная функция принимает на отрезке наибольшее значение $%M$% и наименьшее значение $%m$%. Образом всегда будет отрезок $%[m,M]$% (для постоянной функции он вырождается в одноточечное множество).

б) Существует. Например, рассмотрим функцию $%f(x)=\cos x$% на произвольном интервале $%(a,b)$%, содержащем отрезок $%[0;\pi]$%. Образом отрезка уже будет $%[-1;1]$%, а других значений косинус не принимает, поэтому образ интервала будет таким же.

в) Этот вопрос вчера задавали здесь. Конструкция достаточно общая: выделяем в бесконечном множестве счётное подмножество, а потом "сдвигаем" его элементы, "пристраивая" нужное количество новых точек.