алгебра - Найти матрицы

Если не привлекать каких-то сложных соображений, то можно поступить так. Исследовать вручную случаи матриц второго и третьего порядка, уловить возникающую при этом закономерность, и попытаться подобрать требуемые матрицы в соответствии с этим.

В данном случае матрицу $%A$% можно выбрать диагональной с элементами $%\lambda_1$%, ... , $%\lambda_n$%. Тогда из соотношения $%[A,X]=AX-XA=X$% будет следовать, что каждое из чисел списка на единицу больше следующего: $%\lambda_1-\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}-\lambda_n=1$%. Это проверяется непосредственным умножением матриц.

Далее, матрицу $%B$% зададим так: на диагонали ниже главной находятся числа $%\mu_1$%, ... , $%\mu_{n-1}$%, а остальные числа равны нулю. Прямой подсчёт показывает, что $%[X,B]=XB-BX$% будет диагональной матрицей с элементами $%\mu_1$%, $%\mu_2-\mu_1$%, ... , $%\mu_{n-1}-\mu_{n-2}$%, $%-\mu_{n-1}$%. Сумма этих чисел равна нулю, что однозначно определяет числа на диагонали матрицы $%A$%. Они равны $%\lambda_1$%, $%\lambda_1-1$%, ... , $%\lambda_1-(n-1)$%, откуда $%\lambda_1=\frac{n-1}2$% с учётом того, что все эти числа в сумме дают ноль. Общая формула: $%\lambda_i=\frac{n+1}2-i$% при $%1\le i\le n$% задаёт матрицу $%A$%. Из сказанного выше видно, что $%\mu_1=\lambda_1$%, $%\mu_2=\lambda_1+\lambda_2$%, ... , $%\mu_{n-1}=\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-1}$%. Суммируя арифметические прогрессии, приходим к простой формуле $%\mu_j=\frac{j(n-j)}2$% для $%1\le j < n$%. Это задаёт матрицу $%B$%.

Далее несложная проверка показывает, что $%[A,B]=AB-BA=-B$%. У матрицы $%AB$% произойдёт домножение элементов матрицы $%B$% на числа $%\lambda_2$%, ... ,$%\lambda_n$%, а у матрицы $%BA$% те же числа домножатся на $%\lambda_1$%, ... , $%\lambda_{n-1}$% соответственно. В итоге разность $%BA-AB$% совпадёт с $%B$% за счёт равенств вида $%\lambda_j-\lambda_{j+1}=1$%.