|
$%BK$% – биссектриса треугольника $%ABC$%. задан 19 Окт '14 18:24 
ray_ of_ sun... |
|
Если без тригонометрии, то эту задачу так можно решить: 1) Выбираем на стороне ВС точку Х так, что ВХ=ВК. Тогда ХС=АК. 2) Пусть угол при основании треугольника АВС равен 2х, значит, угол С=2х, а угол В биссектрисой делится на два равных угла, каждый из которых равен х. 3)Проводим отрезок КМ параллельно основанию ВС (М Є АВ). 4) Треугольник ВКМ равнобедренный, так как в нем углы при стороне ВК равны х. Тогда получим, что МК=МВ=КС. 5)Треугольники АМК и ХСК равны по двум сторонам и углу между ними, а именно:АК=ХС, МК=СК, угол К= углу С = 2х. 6) Поскольку треугольник АМК равнобедренный, то и треугольник ХСК тоже равнобедренный. Тогда в нем углы при основании СК равны 2х. 7) Угол ВХК = 4х, как внешний угол треугольника ХСК. 8) Получили, что углы равнобедренного треугольника ВХК равны х, 4х, 4х. Поскольку их сумма равна 180 градусов, то х+4х+4х=180, отсюда х=20 градусов. 9) Углы при основании исходного равнобедренного треугольника равны по 40 градусов, а угол при вершине А равен 100 градусов. отвечен 19 Окт '14 22:38 
katerina Да, это очень хорошее решение!
(19 Окт '14 23:08)
falcao
1
Можно по-другому решать: из А провести перпендикулярно биссектрисе отрезок АН, Н Є ВС. Тогда АВ=НВ, получим: треугольники АВК и НВК равны по 2-ум сторонам и углу между ними. Значит, НК=АК. Угол ВНК=180-2х, х - угол при основании треугольника АВС. Тогда угол КНС=2х. На ВС ставим такую точку Е, что угол КЕН = 2х. Тогда треугольник КНЕ равнобедренный с основанием НЕ, поэтому КЕ=КН. А поскольку треугольник КЕС тоже равнобедренный (в нем углы ЕСК и ЕКС равны х), то получаем, что ЕС=КЕ=КН=АК. А тогда ВЕ=ВК, поэтому треугольник ВКЕ равнобедренный. Его углы х/2, 2х, 2х. Их сумма 180. Значит, х=40.
(21 Окт '14 20:41)
katerina
|
|
Вот здесь эта задача уже встречалась (с точностью до обозначений). Полного решения там, правда, дано не было: приводилась лишь ссылка на доказательство обратного утверждения. (Оно представляет интерес само по себе.) В такого рода задачах бывает возможно доказать единственность решения, опираясь на то соображение, что против большего угла лежит большая сторона. То есть у нас получился угол при основании 40 градусов (см. ссылку внутри ссылки); мы хотим доказать, что он не может быть меньше или больше. Предполагаем, что он меньше, и пытаемся тем же способом доказать, что $%BC < AK+BK$% или наоборот. Я пробовал так делать, но это к успеху не привело. Поэтому я сейчас рассмотрю решение приведённой Вами задачи на основе тригонометрии. Пусть $%\alpha$% -- половина угла при основании. Полагаем $%AB=AC=1$% и вводим обозначение $%AK=x$%. На стороне $%BC$% строим точку $%D$% такую, что $%BD=BK$%. Тогда $%CD=BC-BD=BC-BK=AK=x$%. Рассмотрим треугольник $%ABK$%. В нём нам известны все углы (в смысле, они выражаются через $%\alpha$%). Угол при вершине $%B$% равен $%\alpha$%, а угол при вершине $%K$% равен $%3\alpha$% (как внешний угол треугольника $%BKC$%). Против этих углов лежат стороны $%AK=x$% и $%AB=1$% соответственно. Применяя теорему синусов, получаем, что отношение $%1:x$% равно $%\sin3\alpha:\sin\alpha$%. Поскольку $%\sin3\alpha=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha$%, отношение $%1/x$% равно $%2\cos^2\alpha+\cos2\alpha=1+2\cos2\alpha$%. Теперь рассмотрим треугольник $%KCD$%. В нём угол при вершине $%D$% равен $%\frac{\pi+\alpha}2$%, что легко усматривается из того, что он является внешним для равнобедренного треугольника $%BDK$% с углом $%\alpha$% при вершине. Поскольку угол при вершине $%C$% равен $%2\alpha$%, на оставшийся угол при вершине $%K$% приходится $%\frac{\pi-5\alpha}2$%. Длины сторон, лежащих против вершин $%D$% и $%K$%, равны $%1-x$% и $%x$% соответственно, поэтому из теоремы синусов мы получим $%(1-x):x=\sin\frac{\pi+\alpha}2:\sin\frac{\pi-5\alpha}2=\cos\frac{\alpha}2:\cos\frac{5\alpha}2$%. С другой стороны, из предыдущего следует, что та же величина равна $%1/x -1=2\cos2\alpha$%. Это приводит к тригонометрическому уравнению $%2\cos2\alpha\cos\frac{5\alpha}2=\cos\frac{\alpha}2$%. Применяя известную формулу для удвоенного произведения косинусов, имеем в левой части сумму $%\cos\frac{9\alpha}2+\cos\frac{\alpha}2$%, откуда $%\cos\frac{9\alpha}2=0$%. Ввиду того, что $%\alpha < \frac{\pi}4$% как половина острого угла при основании, единственным возможным значением угла является $%\alpha=\frac{\pi}9$%. Это $%20$% градусов, и углы треугольника $%ABC$% равны $%40^{\circ}$% при основании и $%100^{\circ}$% при вершине. отвечен 19 Окт '14 20:34 
falcao |
@ray_ of_ sunshine_, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.