|
Наверное, это очень просто, но: $$\lim_{x \rightarrow \infty } (\frac{x+2}{2x-1}) ^{ x^{2} } $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty } sin^{n} \frac{2 \pi n}{3n+1} $$ $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}+0 } [tg(\frac{\pi}{8}+x)]^{tg(2x)} $$ задан 19 Окт '14 18:40 
Snaut |
|
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{{\frac{{2x - 1}}{{3 - x}}}}} \right)}^{\frac{{2x - 1}}{{3 - x}}}}} \right)^{\frac{{{x^2}}}{{\frac{{2x - 1}}{{3 - x}}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{\frac{{2x - 1}}{{3 - x}}}}}} = {e^{ - \infty }} = 0$$ $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,{\sin ^n}\left( {\frac{{2\pi n}}{{3n + 1}}} \right) = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\,\,\, \times \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\sin \left( {\frac{{2\pi n}}{{3n + 1}}} \right)} \right)}} = {e^{\infty \,\, \times \,\,\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = {e^{ - \infty }} = 0$$ $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}\,\, + 0} \,{\left( {tg\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right)} \right)^{tg(2x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}\,\, + 0} tg(2x)\,\,\,\,\,\, \times \,\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}\,\, + 0} \,ln\left( {tg\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right)} \right)}} = {e^{ - \infty }} = 0$$ В последнем примере, главное показать, что если мы вычисляем предел $%{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}\,\, + 0} tg(2x)}$% справа, то, зная, как выглядит график функции $%tg(2x)$% в точках разрыва, несложно определить, что справа предел будет равен минус бесконечности, а слева плюс бесконечности. В итоге в степени мы умножаем минус бесконечность на небольшое положительное число, что в результате даст минус бесконечность. отвечен 19 Окт '14 21:27 
night-raven Большое спасибо!
(19 Окт '14 21:35)
Snaut
|
Здесь всё решается однотипно: показатели степени стремятся к бесконечности (в последнем примере -- к $%-\infty$%), а основания степени по модулю меньше 1 (в последнем примере -- наоборот). Поэтому все пределы равны нулю.
А как доказать, что основание степени меньше 1? Можно ли использовать формулу $$a^{b}= e^{b*lna}.$$ Наверно, не имеет смысла...
Кажется, понял это.) Теперь не пойму, как доказать последний.
Про основание степени всё ясно как раз. В первом примере оно стремится к 1/2. Во втором примере оно стремится к синусу 2п/3. В третьем примере получается тангенс угла 3п/8, это больше единицы, но там показатель отрицателен. В итоге всё сводится к одному и тому же случаю.
Логарифмировать тоже можно, но там надо будет доказывать, что b*ln(a) стремится к минус бесконечности. А для этого надо знать, что a<1 -- чтобы логарифм стал отрицателен. А это то же самое, о чём говорилось только что.
А почему в последнем степень стремиться в минус бесконечность?
@Tiki_6O: посмотрите на то, как ведёт себя график тангенса вблизи точки x=п/2. Когда x стремится к п/2 с правой стороны, график уходит в минус бесконечность. В показателе стоит tg(2x), и x->п/4+0 (справа), то есть мы имеем описанную ситуацию.