Многочлен $%f(x)$% $% n$%-й степени не имеет действительных корней. Что можно сказать о корнях многочлена $% f(x)+{ f }^{\prime}(x)+{f}^{\prime \prime}(x)+{f}^{\prime\prime \prime}(x)+ ... +{f}^{(n)}(x)?$%

задан 20 Апр '12 20:06

изменен 20 Апр '12 20:13

DocentI's gravatar image


9.8k937

@Anatoliy, зачем Вы наставили столько quad? Я переделала оформление. Если Вам не нравится - могу вернуть.

(20 Апр '12 20:15) DocentI

Вопрос замечательный! Но на какой козе подъехать к его решению?

(4 Май '12 6:58) nikolaykruzh...

Надо как-то подъехать.

(4 Май '12 9:39) Anatoliy

Есть восточная пословица: "Задача кажется простой, если она решена". Спасибо,@Андрей Юрьевич!

(18 Июн '12 7:21) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
4

Из условия вытекает, что $%f(x)$%-полином четной степени $%n$%.
Пусть для определенности $%f(x)\gt0$% для любых $%x$%. Обозначим $%g(x)=f(x)+\sum_{k=1}^nf^{(k)}(x)$%, это полином той же степени n.

Докажем, что $%min(g(x))>0$%.
Полином $%g(x)$% достигает минимума в стационарной точке, поэтому в точке минимума должно выполняться условие $%g'(x)=0$%. Заметим, что $%g'(x)=g(x)-f(x)$%, т.к. $%f^{(n+1)}(x)\equiv0$%, поэтому в точке минимума $%g(x)=f(x)>0$%,
ч.т.д.

Если для любых $%x$% выполняется условие $%f(x)\lt0$% - все аналогично.

Ответ: многочлен $%g(x)$% не имеет корней.

ссылка

отвечен 19 Май '12 23:13

изменен 20 Май '12 1:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,611

задан
20 Апр '12 20:06

показан
529 раз

обновлен
19 Июн '12 10:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru