множества - Мощность множеств

В общем случае это неверно, так как при $%A=B$% симметрическая разность окажется пустой. Она также может оказаться конечной. Но при дополнительном предположении, что симметрическая разность бесконечна, утверждение будет верно.

Допустим, что $%A\setminus B$% бесконечно. Будем исходить из того, что при добавлении к счётному множеству конечного или счётного получится счётное множество. Тогда это же верно для любого бесконечного множества, так как оно обладает счётным подмножеством. Если добавить конечное или счётное, то мощность не изменится.

Здесь происходит следующее: $%B$% можно представить как объединение двух частей $%B_1$% и $%B_2$%, из которых $%B_1$% содержится в $%A$%, а $%B_2$% в дополнении $%A$%. Обе части конечны или счётны. Поэтому $%A\setminus B=A\setminus B_1$% равномощно $%A$%. Симметрическая разность $%A\Delta B$% равна объединению $%(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$%, где $%B\setminus A=B_2$%. Ясно тогда, что добавление $%B_2$% не меняет мощности $%A\setminus B$%, то есть получается множество, равномощное $%A$%.

Если $%A\setminus B$% конечно, то бесконечным должно быть $%B\setminus A$% в силу сделанного выше предположения. Тогда симметрическая разность счётна, и $%A$% тоже счётно как бесконечное множество, являющееся объединением конечного множества $%A\setminus B$% и не более чем счётного множества $%A\cap B$%.