Доказательство неравенства

В выражении $%(a^2+1)(b^2+1)$% раскроем скобки и применим неравенство $%a^2+b^2\ge2ab$%. Получится $%(a^2+1)(b^2+1)=(ab)^2+a^2+b^2+1\ge(ab)^2+2ab+1$%. Положим $%t=ab$% и докажем неравенство $%(t^2+2t+1)(t^2+1)\ge8t^2$%. Заметим, что при $%t=1$% имеет место равенство, а это значит, что многочлен, равный разности левой и правой части будет делиться на $%t-1$%. Доказываемое неравенство имеет вид $%t^4+2t^3-6t^2+2t+1\ge0$%, что равносильно $%(t-1)(t^3+3t^2-3t-1)\ge0$%. Кубический многочлен, который при этом возник, также делится на $%t-1$%, и в итоге мы имеем $%(t-1)^2(t^2+4t+1)\ge0$%. Ввиду того, что $%t$% неотрицательно, значения квадратного трёхчлена всюду положительны, и неравенство доказано.