аналитическая-геометрия - Составьте уравнение общей касательной к двум кривым 2-го порядка:

Уравнение общей касательной к эллипсу будет иметь вид $$y = k \cdot x + c.$$ Для того чтобы найти $%k$% и $%c$%, нужно подставить в каждое уравнение эллипса данное значение общей касательной. Затем выразить оба уравнения как от переменной $%x$% и параметрами $%k$% и $%c$%. Условие единственности решения, а в данном случае касания будут задаватся нулевым дискриминантом. Поэтому нужно будет выразить дискриминант из каждого уравнения, приравнять к нулю и решить систему с двумя уравнения от $%k$% и $%c$%. Итак, подставляем $%y = k \cdot x + c$% в каждое уравнение эллипса и выражаем как квадратное уравнение от переменной $%x$%: $$(4{k^2} + 1){x^2} + (8ck)x + 4{c^2} - 20 = 0{\text{ и }}(64{k^2} + 1){x^2} + (128ck)x + 64{c^2} - 80 = 0$$ Находим дискриминант каждого уравнения и приравниваем к нулю: $$\begin{cases}{c^2} - 20{k^2} = 5\\4{c^2} - 320{k^2} = 5\end{cases}$$ Получаем 4 решения $$\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right),\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right),\left( { - \frac{5}{2};\frac{1}{4}} \right),\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{4}} \right)$$

Искомые касательные: $$y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2},\,y = \frac{1}{4}x - \frac{5}{2},\,y = - \frac{1}{4}x + \frac{5}{2},\,y = - \frac{1}{4}x - \frac{5}{2}$$

Картинка: