аналитическая-геометрия - Найти расстояния

1. Представим эллипс в виде $${\left( {\frac{x}{1}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}} \right)^2} = 1$$ Найдем координаты фокусов по формуле $$c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {F_1} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right),\,\,{F_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)$$ Найдем уравнение касательной к эллипсу через точку $%A = \left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$% $$\eqalign{ & y = kx + c \Leftrightarrow k = 2 - 3c \cr & {x^2} + 2 \cdot {((2 - 3c) \cdot x + c)^2} = 1 \cr & (18{c^2} - 24c + 9){x^2} + (8c - 12{c^2})x + (2{c^2} - 1) = 0 \cr & D = 0 \Leftrightarrow c = \frac{3}{4} \cr} $$ Уравнение касательной $$x + 4y - 3 = 0$$ Найдем расстояние до точек $%{F_1},{F_2}$%, используя формулу $$\eqalign{ & d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & {d_{{F_1}}} = \frac{{\left| { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = \frac{{6\sqrt {17} + \sqrt {34} }}{{34}} \cr & {d_{{F_2}}} = \frac{{\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = \frac{{6\sqrt {17} - \sqrt {34} }}{{34}} \cr} $$ Картинка:
2. Касательные к эллипсу, паралельные прямой $%y = - x + 1$%, будут иметь вид $$y = - x + c$$ Подставим данное уравнение в уравнение эллипса, выразим квадратное уравнение как уравнение от переменной $%x$% и параметра $%c$%. Приравняем дискриминант к нулю и вычислим $%c$%. Получим $$\eqalign{ & {x^2} + 2{( - x + c)^2} = 1 \cr & 3{x^2} - 4cx + 2{c^2} - 1 = 0 \cr & D = 16{c^2} - 12(2{c^2} - 1) = 0 \cr & c = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \cr} $$ Искомые касательные $$x + y - \sqrt {\frac{3}{2}} = 0{\text{ и }}x + y + \sqrt {\frac{3}{2}} = 0$$ Чтобы найти расстояние между паралельными прямыми, можно найти расстояние до начала координат от каждой из прямых и потом сложить, полученная сумма и есть расстояние между ними $${d_1} = \frac{{\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,{d_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,d = {d_1} + {d_2} = 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $$ Картинка:

$${\textbf{Ответ: 1}}{\text{. }}\,\,\frac{{6\sqrt {17} \pm \sqrt {34} }}{{34}};\,\,\,\,\,\,\textbf{2}.\,\,\,\sqrt 3 $$