аналитическая-геометрия - Составить уравнение эллипса

Решение:

1. Уравнение эллипса в каноническом виде $${\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = 1$$ Зная точку, которая принадлежит эллипсу, мы можем составить уравнение зависимое от $%a$% и $%b$%. Чтобы найти оба параметра необходимо второе уравнение зависимое от $%a$% и $%b$%. Его мы можем получить через условие касания прямой и эллипса. Итак, подставим координаты точки в уравнение эллипса: $${\left( {\frac{{ - 3}}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{b}} \right)^2} = 1$$ Теперь подставим $%y = \frac{2}{3}x - \frac{{25}}{6}$% в уравнение эллипса, выразим полученное уравнение, как уравнение от переменной $%x$% с параметрами $%a$% и $%b$% и вычислим нулевой дискриминант. Получаем $$\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{9{b^2}}}} \right) \cdot {x^2} - \left( {\frac{{50}}{{9{b^2}}}} \right) \cdot x + \left( {\frac{{625}}{{36{b^2}}} - 1} \right) = 0$$ Для условия касания необходимо, чтобы дискриминант данного уравнения был равен нулю. $$\frac{{16{a^2} + 36{b^2} - 625}}{{9{a^2}{b^2}}} = 0$$ Осталось решить систему: $$\begin{cases}4a^2-a^2b^2+9b^2=0\\16a^2+36b^2-625=0\end{cases}$$ В результате получаем 8 пар решений $$\eqalign{ & \left( { - 5; - \frac{5}{2}} \right),\left( { - 5;\frac{5}{2}} \right),\left( {5; - \frac{5}{2}} \right),\left( {5;\frac{5}{2}} \right), \cr & \left( { - \frac{{15}}{4}; - \frac{{10}}{3}} \right),\left( { - \frac{{15}}{4};\frac{{10}}{3}} \right),\left( {\frac{{15}}{4}; - \frac{{10}}{3}} \right),\left( {\frac{{15}}{4};\frac{{10}}{3}} \right). \cr} $$ и два искомых уравнения эллипса $${x^2} + 4{y^2} = 25{\text{ и }}64{x^2} + 81{y^2} = 900$$ Вот картинка:

2. Для второго случая нужно подставить $%y = 5 - x{\text{ и }}y = 2.5 - 0.25x$% в каноническое уравнение эллипса, приравнять дискриминант к нулю и решить систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными. Система примет вид $$\begin{cases}a^2+b^2=25\\a^2+16b^2=100\end{cases}$$ Ее решение $$( - 2\sqrt 5 ; - \sqrt 5 ),( - 2\sqrt 5 ;\sqrt 5 ),(2\sqrt 5 ; - \sqrt 5 ),(2\sqrt 5 ;\sqrt 5 )$$ Искомый эллипс $$x^2+4y^2=20$$ Вот картинка: