|
Доказать, что если $%n$% простое число большее $%3$%, то верно высказывание $%(n-1)\cdot(n+1)$% делится на $%24$%. задан 20 Окт '14 10:03 
al1965 |
|
Если $%n$% простое, больше двух, то $%(n-1); (n+1)$% - последовательные ЧЕТНЫЕ числа, следовательно одно из них имеет вид $%4k$%, второе $%4k+2$% или $%4k-2$%, т.е. их произведение делится на 8. Кроме того, произведение трех последовательных целых чисел делится на $%3!=6$%, следовательно произведение $%(n-1)n(n+1)$% делится на три. Поскольку $%n$% простое, больше трех, то $%n$% не равно трем и ПРОСТОЕ, значит не делится на три. Тогда на три делится $%(n-1)(n+1)$%. Если некоторое число делится на $%a$% и на $%b$%, то оно делится и на их наименьшее общее кратное, в данном случае - на 24. отвечен 20 Окт '14 14:44 
Lyudmyla |
|
Известно, что все простые числа, больше $%3$%, можно записать в виде $%6k-1$% и $%6k+1$%. Это следует из того, что числа, которые при делении на $%6$% дают остатки $%2$%, $%4$%, $%0$%, $%3$%: $%6k+2$%, $%6k+4$%, $%6k$% - составные и делятся еще хотя бы на $%2$%, $%6k+3$% делится еще хотя бы на $%3$%. Остаются числа, которые дают остатки $%1$% и $%5$% (или что то же самое $%-1$%). Поэтому, если возьмем к примеру число $%6k-1$%, то будем иметь $%(6k-1-1)(6k-1+1)=(6k-2)6k=12k(3k-1)$%, а для $%6k+1$% будет $%(6k+1-1)(6k+1+1)=6k(6k+2)=12k(3k+1)$%. В обоих случаях имеем произведение двух чисел $%k(3k+1)$% или $%k(3k-1)$%, одно из которых четное, умноженных на $%12$%. Таким образом все произведение делится на $%24$%. отвечен 20 Окт '14 10:51 
sliy |
@алш, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.