|
С помощью дельта-эпсилон рассуждений доказать непрерывность: $%\sqrt[3]{x}$%, $% {\rm sin} \ x$%, $%{\rm cos} \ x.$% Спасибо. P.S. можно ли писать формулы в строчку (чтобы они постоянно не перескакивали на новый абзац)? задан 20 Окт '14 16:34 
Snaut |
|
Изложу основные идеи, не вдаваясь в излишние детали. 1) $%\sqrt[3]x-\sqrt[3]{x_0}=\frac{x-x_0}{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x_0}+\sqrt[3]{x_0}^2}$%. Здесь числитель мал по модулю (меньше $%\delta$%), а знаменатель надо оценить. При этом надо учитывать, что $%x$% будет близко к $%x_0$% (в той мере, как мы сами этого захотим), поэтому знаменатель близок к $%3\sqrt[3]{x_0}^2$%. Но здесь числа могут принимать разные знаки, поэтому в таком виде оценку представлять не очень удобно. Проще заметить, что при $%x_0\ne0$% можно выбрать $%\delta$% так, чтобы числа $%x$% и $%x_0$% были одного знака. Для этого достаточно взять $%\delta < |x_0|$%. Пи этом все слагаемые в знаменателе окажутся положительными, и он будет больше $%x_0^2$%. Тогда $%|\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]x_0|\le\frac{|x-x_0|}{x_0^2} < \varepsilon$% при условии $%|x-x_0| < \delta=x_0^2\varepsilon$%. Случай $%x_0=0$% можно разобрать отдельно, но это просто: из $%|x| < \delta=\varepsilon^3$% следует $%|\sqrt[3]x| < \varepsilon$%. 2) Надо применить формулу для разности синусов: $%\sin x-\sin x_0=2\sin\frac{x-x_0}2\cos\frac{x+x_0}2$%. Косинус оцениваем по модулю единицей, а модуль синуса -- модулем аргумента. Оказывается, что $%|\sin x-\sin x_0|\le|x-x_0|$%, и достаточно взять $%\delta=\varepsilon$%. 3) Решается аналогично предыдущему с использованием формулы для разности косинусов. отвечен 20 Окт '14 17:54 
falcao В первом все ясно, кроме первой формулы $%(x-x_0)/(...)$%, откуда это? "Косинус оцениваем по модулю единицей" - не понятно. Спасибо.
(20 Окт '14 18:24)
Snaut
1
В первом случае использована школьная формула для разности кубов, согласно которой $%a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$%. Здесь $%a$% и $%b$% -- кубические корни из $%x$% и $%x_0$%. Вторая мысль состоит в том, что $%|\cos t|\le1$% при любом $%t$%. Это и значит, что модуль косинуса можно оценить (сверху) единицей.
(20 Окт '14 18:29)
falcao
А синус разве тоже не меньше единицы?
(20 Окт '14 18:58)
Snaut
1
@Tiki_6O: да, он меньше либо равен 1, но не всяким истинным положением мы пользуемся. Если применить такую оценку, то получится $%2\cdot1\cdot1=2$%, что хотя и верно, но бесполезно в плане оценки. Поэтому мы применяем для синуса неравенство вида $%|\sin t|\le|t|$%, которое для малых значений $%t$% гораздо сильнее.
(20 Окт '14 19:08)
falcao
|
@Tiki_6O: для того, чтобы формулы не занимали отдельные строки, надо вместо $$ писать в начале и в конце знак доллара вместе со знаком процента после него, то есть $%. Это немного непривычно для тех, кто часто набираем формулы TeX'а, но я сейчас очень часто стал автоматически добавлять "процент", набирая обычные тексты вне форума :)
В формулах у Вас пропущены знаки модуля, хотя понятно, что они подразумеваются.
@Tiki_6O, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.