|
Здравствуйте, срочно нужна ваша помощь в решении следующего предела: $$ \lim_{x \rightarrow 3} \ (\sqrt {x+1}-1)^{{\rm ctg }\ \pi x}$$ задан 21 Окт '14 13:33 
Limkarina |
|
Положим $%t=x-3\to0$%. Основание степени будет равно $%\sqrt{4+t}-1$%; оно стремится к единице. Показатель степени равен $%{\rm ctg\,}\pi t$% из-за периодичности котангенса. Таким образом, надо найти предел $%\lim\limits_{t\to0}(\sqrt{4+t}-1)^{{\rm ctg\,}\pi t}$%. Прологарифмируем функцию. Если окажется, что её логарифм стремится к числу $%a$%, то исходный предел существует и равен $%e^a$%. После логарифмирования будет $%\frac{\cos\pi t}{\sin{\pi t}}\ln(\sqrt{4+t}-1)$%. Разберёмся с каждым выражением по отдельности. Косинус стремится к 1, и его можно не учитывать. Синус эквивалентен своему аргументу (стремящемуся к нулю), его заменяем на $%\pi t$%. Выражение под знаком логарифма представим в виде $%1+z$%, где $%z=\sqrt{4+t}-2\to0$%. В этом случае $%\ln(1+z)\sim z$%. Но $%z=\frac{4+t-2^2}{\sqrt{4+t}+2}\sim t/4$%. Окончательно имеем, что $%\frac1{\pi t}\cdot\frac{t}4=\frac1{4\pi}$%, и это предел логарифма функции. Поэтому предел самой функции равен $%e^{\frac1{4\pi}}$%. отвечен 21 Окт '14 16:40 
falcao |
|
Положим $%x - 3 = t$%, тогда $$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,{(\sqrt {x + 1} - 1)^{{\text{ctg(}}\pi x)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,{\left( {{{((\sqrt {t + 4} - 2) + 1)}^{\frac{1}{{\sqrt {t + 4} - 2}}}}} \right)^{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} (\,{\text{ctg(}}\pi (t + 3)) \cdot (\sqrt {t + 4} - 2))}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,{(\sqrt {x + 1} - 1)^{{\text{ctg(}}\pi x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} (\,{\text{ctg(}}\pi (t + 3)) \cdot (\sqrt {t + 4} - 2))}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,\,{\text{ctg(}}\pi (t + 3)) \cdot (\sqrt {t + 4} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,\left( {\frac{1}{{\pi t}} - \frac{{\pi t}}{3}} \right) \cdot (\sqrt {t + 4} - 2) \cr & \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,\,{\text{ctg(}}\pi (t + 3)) \cdot (\sqrt {t + 4} - 2) = \frac{{\sqrt {t + 4} - 2}}{{\pi t}} \cdot \frac{{\sqrt {t + 4} + 2}}{{\sqrt {t + 4} + 2}} = \frac{t}{{\pi t \cdot \sqrt {t + 4} + 2}} = \frac{1}{{4\pi }} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,{(\sqrt {x + 1} - 1)^{{\text{ctg(}}\pi x)}} = {e^{\frac{1}{{4\pi }}}} \cr} $$ отвечен 21 Окт '14 16:51 
night-raven |
Заранее благодарна за помощь