|
Пусть $%A$% - матрица вида $%n\times n$%, а $%f(x)=x^kg(x)$%, где $%g(0)\neq 0$% - её характеристический многочлен. Что можно сказать о ранге матрицы? задан 21 Окт '14 16:52 
Людмила Алойла |
|
У характеристического многочлена имеется корень $%\lambda=0$% кратности $%k$%. Наличие корня $%\lambda=0$% равносильно тому, что определитель равен нулю, и матрица вырождена. Значит, её ранг меньше $%n$%. Максимальное значение ранга равно $%n-1$%, и так может быть, если собственному числу $%\lambda=0$% соответствует жорданова клетка порядка $%k$%. Все остальные строки линейно независимы, так как матрица имеет треугольный вид, и они ненулевые. Минимальное значение ранга равно $%n-k$%. Так будет, если нулю соответствует $%k$% жордановых клеток порядка 1. Это означает, что у матрицы есть $%k$% нулевых строк. Все промежуточные значения ранга также возможны. Таким образом, $%n-k\le{\rm rank\,}A\le n-1$%. отвечен 21 Окт '14 17:25 
falcao |
@Людмила Алойла, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.