Здравствуйте.
Подскажите как решать этот пример:

Разложить на простейшие дроби над полем $%R$%: $$\frac {1}{x^4+4}$$

Подскажите, пожалуйста, как решить этот пример. Я буду очень благодарна. Желательно с подробным объяснением.

задан 22 Окт '14 17:17

изменен 22 Окт '14 20:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Angelinafizhim, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(22 Окт '14 20:09) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала надо разложить многочлен $%x^4+4$% на множители. Это делается при помощи такого приёма: прибавляем и вычитаем $%4x^2$%, получая далее разность квадратов: $%x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$%. Оба квадратных трёхчлена имеют отрицательный дискриминант, и далее на множители с действительными коэффициентами уже неразложимы.

Поэтому разложение на простейшие дроби будет иметь вид $$\frac1{x^4+4}=\frac{Ax+B}{x^2-2x+2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}$$ с неопределёнными коэффициентами. Чтобы их найти, надо привести дробь к общему знаменателю. Он будет равен произведению знаменателей, то есть $%x^4+4$%. А в числителе получится $%(Ax+B)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x^2-2x+2)$%. Нужно раскрыть скобки в этом выражении и привести подобные члены. Чтобы числитель стал тождественно равен единице, надо приравнять к нулю коэффициенты при $%x^3$%, $%x^2$%, $%x$%, а свободный член приравнять к нулю. Получится система из четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Она достаточно легко решается (например, методом исключения неизвестных), после чего все коэффициенты находятся, и выписывается ответ.

ссылка

отвечен 22 Окт '14 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×365
×65
×40

задан
22 Окт '14 17:17

показан
1123 раза

обновлен
22 Окт '14 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru