alt text

Все значения $%x$% принадежат отрезку $%[-3;1]$%.

Найти такие $%x$%, если $%x(п(x+1)-4arctg(3m^2+12m+11))>0$% (выполняется при любых целых $%m$%).

задан 22 Окт '14 21:24

изменен 24 Окт '14 13:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Условие надо откорректировать. Пока что оно звучит странно: при любых x из отрезка найти неравенство (?) при любых целых m. Я так понимаю, здесь что-то связано со свойствами множества решений неравенства в зависимости от m, но пока непонятно, что имелось в виду.

(22 Окт '14 21:30) falcao

@falcao Так лучше? просто я ступила и, когда набирала вопрос, забыла прочитать весь текст до конца. Прошу прощения.

(23 Окт '14 0:00) stander

@stander: а нельзя ли дать оригинал условия слово в слово, а не его пересказ? Пока что я не понимаю, что здесь нужно сделать.

(23 Окт '14 0:10) falcao

@falcao: на данный момент это всё, чем я располагаю. Как я понимаю, нам задан определенный отрезок для x. И нужно найти конкретные значения из этого отрезка, удовлетворяющие условию для m.

(23 Окт '14 0:28) stander

@stander: я могу истолковать это условие так: найти все $%x\in[-3;1]$%, для которых неравенство выполнено при любых целых $%m$%. Не знаю, это ли имелось в виду.

(23 Окт '14 0:33) falcao

@falcao: да, это и имеется в виду, на мой взгляд.

(23 Окт '14 0:48) stander
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня нет твёрдой уверенности в правильном истолковании условия, но если всё-таки имелось в виду то, что обсуждалось выше, то получается следующее.

Квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение при $%m=-2$%. Получается $%{\rm arctg}(-1)=-\frac{\pi}4$%. Выражение в скобках становится равно $%\pi(x+2)$%, откуда $%x(x+2) > 0$%, то есть подходить могут только $%x\in[-3;-2)\cup(0;1]$%. Легко видеть, что $%x=1$% подходит, так как арктангенс всюду строго меньше $%\frac{\pi}2$%. Далее, уже было отмечено, что $%{\rm arctg}(3m^2+12m+11)\ge-\frac{\pi}4$%, поэтому выражение в скобках не превосходит $%\pi(x+2)$%, то есть оно отрицательно при $%x < -2$%. Поэтому все отрицательные числа из $%x\in[-3;-2)$% подходят: после домножения на $%x$% выражение становится положительным.

Осталось разобраться с $%x\in(0;1)$%. Здесь надо заметить, что $%3m^2+12m+11$% стремится к $%+\infty$% при $%m\to\infty$%, а предел арктангенса при этом равен $%\frac{\pi}2$%. Иными словами, для любого $%\varepsilon > 0$% найдётся целое $%m$%, для которого $%{\rm arctg}(3m^2+12m+11) > \frac{\pi}2-\varepsilon$%. Тогда при положительных $%x$% всё зависит от знака выражения в скобках, а оно меньше $%\pi(x+1)-2\pi+4\varepsilon=\pi(x-1)+4\varepsilon$%. Оно будет отрицательным, если выбрать $%\varepsilon < \frac{\pi(1-x)}4$%, а это всегда возможно. Значит, никакие $%x\in(0;1)$% не подходят, и ответом будет $%x\in[-3;-2)\cup\{1\}$%.

ссылка

отвечен 23 Окт '14 1:35

изменен 23 Окт '14 2:32

Тут была опечатка в тексте: лишняя буква в имени функции. Поскольку $%\TeX$% имеет англоязычную основу, то там в ходу $%\tan$%, $%\cot$%, $%\arctan$% и так далее, а русскоязычные обозначения приходится искусственно создавать, чтобы они нормально смотрелись.

(23 Окт '14 2:35) falcao

@falcao. -2 тоже удовлетворяет условию. И решить эту задачу можно совсем проще (как мне представляется). Функция f(t)=arctg(t) возрастает на R и принимает значения (-2pi;+2pi). Условию задачи удовлетворяют все значения х, при который квадратный трехчлен pi(x^2+x)>=2pi. Решение этого неравенства на отрезке [-3;1] и есть ответ. [-3;-2]U{1}

(24 Окт '14 19:05) nynko

@nynko: значение -2 не подходит: при нём значение левой части неравенства равно нулю, если взять m=-2.

Не думаю, что принципиально более простое решение здесь имеется, так как надо учитывать, что m целое. Это довольно незначительная "помеха", но её надо иметь в виду. К тому же надо проверять условие в обе стороны.

Со значениями арктангенса -- я так понимаю, что Вы имели в виду 4arctg(t). Как из этого сделать вывод п(x^2+2x)>=2п, мне непонятно.

(24 Окт '14 20:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×458
×35

задан
22 Окт '14 21:24

показан
528 раз

обновлен
24 Окт '14 20:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru