множества - Построить биекцию

Впишем круг в квадрат; пусть $%O$% -- это центр. Эта точка будет отображаться на себя. Для любой другой точки рассмотрим проходящий через неё луч с началом $%O$%. Введём на нём масштаб так, что радиус круга станет равен 1. Тогда луч пересекает круг по отрезку длиной 1, а квадрат по отрезку длиной $%k\ge1$%, где число $%k$% зависит от направления луча. Ясно, что существует линейное отображение $%x\mapsto kx$%, переводящее $%[0;1]$% в $%[0;k]$%. На его основе и можно построить биекцию. Круг в каждом из направлений растягиваться с некоторым коэффициентом, отображаясь в итоге на квадрат.

Эта конструкция годится для любых выпуклых ограниченных фигур.