|
(по мотивам задачи С. Л. Берлова) По кругу расставлены 2015 целых чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются либо на 2, либо на 6, либо втрое, либо всемеро. Доказать, что хотя бы одно из этих чисел кратно 4. задан 23 Окт '14 17:42 
حنين |
|
По условию для двух соседних $%a$% и $%b$% верно, что $%a-b\equiv 2(\mod4)$% или $%a\equiv7b\equiv3b\equiv-b(\mod4)$%. Если для одного из чисел его остаток от деления на 4 нулевой, то число делится на 4. Если остаток равен двум, то при выполнении условия $%a-b\equiv 2(\mod4)$% соседнее с ним число делится на 4. Пусть тогда остаток равен двум и соседние числа отличаются друг от друга в 3 или 7 раз. В силу взаимной простоты, чтобы придти к тому же числу, сделав полный круг, мы должны провести операцию деления ровно столько же раз, сколько операцию умножения. Но это невозможно, т.к. чисел нечетное число. Нечетные же остатки от деления на 4 всегда чередуются: $%3-1\equiv2(\mod4)$% и $%1\equiv -3(\mod4)$%. Последнее невозможно, т.к. чисел нечетное число. отвечен 23 Окт '14 17:58 
cartesius Что значит: " Если один из остатков четный, то число делится на 4 или соседнее с ним делится на 4"? Возьмите, к примеру, числа 2 и 6. Что там на что делится?
(23 Окт '14 18:16)
حنين
1
Поторопилась: имелось ввиду - найдется такой остаток. Сейчас более корректно напишу.
(23 Окт '14 18:21)
cartesius
@Katy Laurin: по-моему, у @cartesius всё было с самого начала изложено верно; можно было даже не редактировать. В условии сказано, что соседние числа отличаются на 2 или на 6. Если остаток у числа $%n$% чётный (от деления на 4), то он равен 0 или 2. В первом случае само число делится на 4. Во втором -- соседнее, имеющее вид $%n\pm2$% или $%n\pm6$%. Числа 2 и 6 не дают контрпримера, так как они отличаются на 4.
(23 Окт '14 18:53)
falcao
@cartesius, проще говоря, чётность суммы количеств троек и семёрок в разложении числа на множители изменяется при каждом умножении (или делении) на 3 или на 7.
(24 Окт '14 0:22)
حنين
@Katy Laurin: да, Ваше замечание справедливо. Я осознал это вскоре после того, как написал предыдущий комментарий, но успел к этому времени уже выключить компьютер. Там, конечно, нужно рассматривать ещё один случай умножений и делений на 3 или 7, когда, кроме них, ничего больше не происходит, но это достаточно просто.
(24 Окт '14 1:52)
falcao
показано 5 из 6
показать еще 1
|