|
Найти такие $%a$%, при которых система имеет ровно $%1$% решение: $$\begin{cases}x^2-4x+a \leq 0\\x^2+2x-3a \leq 0\end{cases} $$ задан 23 Окт '14 21:44 
stander |
|
Оба неравенства очень легко решаются графически на плоскости $%OXA$%. Начертим функции $%a = - {x^2} + 4x{\text{ и}} \,\,a = \frac{1}{3}{x^2} + \frac{2}{3}x$% на плоскости $%OXA$% и заштрихуем области, где выполняются оба неравенства: $$a \leqslant - {x^2} + 4x{\text{ и }}a \geqslant \frac{1}{3}{x^2} + \frac{2}{3}x$$ Параметр здесь играет роль переменной $%y$%. Теперь ясно, что единственное решение возможно при $$a = 0{\text{ и }}a = 4$$ отвечен 24 Окт '14 11:21 
night-raven |
|
Решением каждого неравенства будет отрезок вида $%[a;b]$%. Пусть решение первого неравенства $%[a_1;b_1]$%, а решение второго - $%[a_2;b_2]$%. Единственное решение системы двух неравенств возможно $%b_1$%, если $%b_1=a_2$%, либо $%a_1$%, если $%a_1=b_2$%. В каждом из этих случаев неравенства превращаются в уравнения. Таким образом получаем систему уравнений $$x^2-4x+a=0; x^2+2x-3a=0$$ Приравниваем $$3x^2-12x=-x^2-2x$$ $$2x^2-5x=0$$ $$x_1=0; x_2=2,5$$ Осталось проверить каждый случай 1. $%x_1=0 $% тогда $%a=0 $% и $$x^2-4x<=0; x^2+2x<=0$$ $$[-2;0]\cap [0;4]=\{0\}$$ 2.$%x_2=2,5 $% тогда $%a=3,75 $% и $$x^2-4x+3,75<=0; x^2+2x-11,25<=0$$ $$[1,5;2,5]\cap [-4,5;2,5]=[1,5;2,5]$$ Таким образом только при а=0 система имеет единственное решение. отвечен 23 Окт '14 22:18 
aid78 @aid78: тут возможен ещё случай, когда один из отрезков вырождается в точку, и она при этом содержится внутри другого отрезка. То есть надо анализировать ещё возможности a=4 и a=-1/3. Первая из них подходит.
(24 Окт '14 11:37)
falcao
|
|
Постройте в осях $%aOx$% две области: $%a\leq-x^2+4x$% и $%a \geq \frac {x^2+2x}{3}$% и посмотрите, где эти области будут иметь одну общую точку. отвечен 23 Окт '14 22:21 
epimkin |