Найти такие $%a$%, при которых система имеет ровно $%1$% решение:

$$\begin{cases}x^2-4x+a \leq 0\\x^2+2x-3a \leq 0\end{cases} $$

задан 23 Окт '14 21:44

изменен 24 Окт '14 12:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Оба неравенства очень легко решаются графически на плоскости $%OXA$%.

Начертим функции $%a = - {x^2} + 4x{\text{ и}} \,\,a = \frac{1}{3}{x^2} + \frac{2}{3}x$% на плоскости $%OXA$% и заштрихуем области, где выполняются оба неравенства: $$a \leqslant - {x^2} + 4x{\text{ и }}a \geqslant \frac{1}{3}{x^2} + \frac{2}{3}x$$ Параметр здесь играет роль переменной $%y$%. alt text

Теперь ясно, что единственное решение возможно при $$a = 0{\text{ и }}a = 4$$

ссылка

отвечен 24 Окт '14 11:21

изменен 24 Окт '14 14:32

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Решением каждого неравенства будет отрезок вида $%[a;b]$%. Пусть решение первого неравенства $%[a_1;b_1]$%, а решение второго - $%[a_2;b_2]$%. Единственное решение системы двух неравенств возможно $%b_1$%, если $%b_1=a_2$%, либо $%a_1$%, если $%a_1=b_2$%. В каждом из этих случаев неравенства превращаются в уравнения. Таким образом получаем систему уравнений $$x^2-4x+a=0; x^2+2x-3a=0$$ Приравниваем $$3x^2-12x=-x^2-2x$$ $$2x^2-5x=0$$ $$x_1=0; x_2=2,5$$ Осталось проверить каждый случай 1. $%x_1=0 $% тогда $%a=0 $% и $$x^2-4x<=0; x^2+2x<=0$$ $$[-2;0]\cap [0;4]=\{0\}$$ 2.$%x_2=2,5 $% тогда $%a=3,75 $% и $$x^2-4x+3,75<=0; x^2+2x-11,25<=0$$ $$[1,5;2,5]\cap [-4,5;2,5]=[1,5;2,5]$$ Таким образом только при а=0 система имеет единственное решение.

ссылка

отвечен 23 Окт '14 22:18

изменен 24 Окт '14 14:31

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@aid78: тут возможен ещё случай, когда один из отрезков вырождается в точку, и она при этом содержится внутри другого отрезка. То есть надо анализировать ещё возможности a=4 и a=-1/3. Первая из них подходит.

(24 Окт '14 11:37) falcao

@falcao Согласен. Уже проверил, что при а=4 первое неравенство имеет единственное решение х=2, которое входит в решение второго неравенства.

(24 Окт '14 11:45) aid78
10|600 символов нужно символов осталось
0

Постройте в осях $%aOx$% две области: $%a\leq-x^2+4x$% и $%a \geq \frac {x^2+2x}{3}$% и посмотрите, где эти области будут иметь одну общую точку.

ссылка

отвечен 23 Окт '14 22:21

изменен 24 Окт '14 12:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×458
×39
×35

задан
23 Окт '14 21:44

показан
1541 раз

обновлен
24 Окт '14 14:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru