$%{\rm sin}(2\pi/(x^2+2x+a))=0$%

Найти такие $%a$%, при которых уравнение имеет ровно $%6$% решений.

задан 23 Окт '14 21:50

изменен 24 Окт '14 14:33

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

$${\rm sin}(2\pi/(x^2+2x+a))=0$$ $$2\pi/(x^2+2x+a)=\pi n$$ $$2/(x^2+2x+a)= n$$ $$x^2+2x+a=2/n, n \in Z$$ $$(x+1)^2=2/n+1-a, n \in Z$$ $$2/n+1-a=>0, n \in Z$$ Необходимо найти значение параметра $%a$%, при которых выражение $%2/n+1-a$% будет положительным только при трех значениях $%n$%. Таким образом, выражение $%2/n+1-a$% должно быть положительным только при первых трех натуральных значениях $%n=1$%, $%n=2$%, $%n=3$%, а при всех остальных целых значениях коэффициента $%n$% это выражение должно принимать отрицательные значения: $%2/3+1-a=5/3-a>0$% следовательно, $%a<5/3$%, а при $%n=4$% $%2/4+1-a=3/2-a<0$% следовательно, $%a>3/2$%. $$a \in (3/2;5/3)$$

ссылка

отвечен 23 Окт '14 23:03

изменен 24 Окт '14 14:34

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@aid78: там второе неравенство имеет вид $%a\ge3/2$%. Ответ выписан в соответствии с этим (при n=4 значение не положительно).

(24 Окт '14 1:22) falcao

@falcao Спасибо, исправил.

(24 Окт '14 10:41) aid78

@aid78: я внёс некоторую долю путаницы своим комментарием. Он касался несоответствия между выписанными неравенствами и ответом. В частности, там и сейчас оно осталось: сначала написано $%3/2 - a < 0$%, а потом говорится $%a\ge3/2$%. На самом деле, как это отмечено у @void_pointer, число $%a=3/2$% не подходит: там 7 решений будет. То есть числа n=1,2,3 приносят по два решения каждое, а n=4 не приносит решений вообще. Неравенство по этой причине должно быть строгим, но тогда и ответ выписывается в соответствии с ним.

(24 Окт '14 11:28) falcao

@falcao Теперь уже кажется правильно исправил.

(24 Окт '14 11:37) aid78

@aid78: там пока что одна из фраз неточна. Нужно, чтобы каждое из значений n=1,2,3 приносило по два решения, а n=4 не приносило решений. Это значит, что при n=3 число 2/n+1-a положительно, а при n=4 оно отрицательно. Далее всё так и сделано. Но сама фраза насчёт положительности числа при трёх значениях n не исключает того, что при n=4 значение равно нулю. При этом оно не положительно, но этот случай не подходит.

(24 Окт '14 11:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача:

Найти такие $%a$%, при которых уравнение $$\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{{x^2} + 2x + a}}} \right) = 0$$

имеет ровно $%6$% решений.

Решение:

Имеем $$\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{{x^2} + 2x + a}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^2} + 2x + a}} = n,\,\,\,n \in {\Bbb Z}$$ Рассмотрим функции $$y = \frac{2}{{{x^2} + 2x + a}}{\text{ и }}y = n,\,\,\,n \in {\Bbb Z}$$ Найдем область значений первой функции: $$\eqalign{ & y = \frac{2}{{{x^2} + 2x + a}} \Leftrightarrow y{x^2} + 2yx + ya - 2 = 0 \cr & D = 4{y^2} - 4y(ya - 2) = (1 - a){y^2} + 2y \geqslant 0 \cr} $$ При $%a = 1$%, функция $%y = \frac{2}{{{x^2} + 2x + a}}$% принимает все значения из промежутка $%y \in (0;\infty )$%. Это значит, что решений на этом интервале бесконечно много. При $%a < 1,\,\,\,y \in \left( { - \infty ;\frac{2}{{a - 1}}} \right] \cup \left( {0;\infty } \right)$%. Ясно что на данном интервале функция тоже имеет бесконечно много решений, так как мы не можем через параметр ограничить область ее значений так, чтобы лишь она содержала лишь 6 решений. Осталось рассмотреть, $%a > 1,\,\,\,y \in \left( {0;\frac{2}{{a - 1}}} \right]$%. Очевидно, что мы можем ограничить значения функции сверху, так чтобы условия задачи выполнились. Для начала заметим, что функция $%y = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2} + (a - 1)}}$% симметрична относительно $%x = - 1$%, поэтому для любого пересечения $%n$% с $%\frac{2}{{{{(x + 1)}^2} + (a - 1)}}$% в точках отличных от вершины $%\frac{2}{{{{(x + 1)}^2} + (a - 1)}}$% уравнение $%\frac{2}{{{{(x + 1)}^2} + (a - 1)}} = n$% будет иметь два решения симметричных относительно $%x = - 1$%. Для того, чтобы уравнение имело ровно 6 решений необходимо чтобы $$3 < \frac{2}{{a - 1}} < 4 \Leftrightarrow a \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{3}} \right)$$

То есть, нужно чтобы область значений функции содержала отрезок по величине больше 3 но меньше 4. Это гарантирует, что $%n = \{ 1,2,3\} $% и при этом нет касаний с вершиной функции, так как это дает 1 решение вместо двух. При $%a = \frac{3}{2}{\text{ и }}a = \frac{5}{3},\,\,y \in (0;4]{\text{ и }}y \in (0;3]$%, и тогда возможно касание $%n$% с вершиной при $%n = 4{\text{ или }}n = 3$% соответсвенно. Тогда будет $%7$% и $%5$% решений соответсвенно. Поэтому данные значения мы не можем включить в ответ.

Ответ: $$a \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{3}} \right)$$

ссылка

отвечен 24 Окт '14 8:41

изменен 24 Окт '14 8:50

@void_pointer Проверил граничные значения промежутка http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%282%5Cpi%2F%28x%5E2%2B2x%2B5%2F3%29%29%3D0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%282%5Cpi%2F%28x%5E2%2B2x%2B3%2F2%29%29%3D0 При а=3/2 решений будет ровно 6.

(24 Окт '14 10:44) aid78

@aid78 Картинка показала 5 корней, но на самом деле их 7.

(24 Окт '14 11:04) void_pointer

Там надо выбрать "more roots", да и на графике видно 6 точку пересечения (не знаю, почему она не выделяется красным).

(24 Окт '14 11:11) aid78

@aid78 Как я и написал, в решении там 7 корней будет. Нам этот случай не подходит. Нужно, чтобы ровно 6 было.

(24 Окт '14 11:15) void_pointer

@void_pointer Не могу больше добавлять комментарии, поэтому пишу здесь. Согласен с Вами. Хотя очень удивлен ошибкой Вольфрама (до этого я доверял этому проекту).

(24 Окт '14 11:15) aid78
1

@aid78: там есть ещё седьмая точка для этого значения. Она не вошла в кадр, но при $%x < -2$% есть ещё одно пересечение с графиком.

(24 Окт '14 11:22) falcao

@falcao Я больше ориентировался не на график , а на вкладку "действительные корни" (я их все выписал выше). Там седьмого корня нету.

(24 Окт '14 11:26) aid78

@aid78 Вот там график


@aid78 Не стоит доверять програмкам (Вольфраму и т.п.), когда речь заходит о тригонометрических уравнениях. Они их плохо переваривают. Здесь больше доверия должно быть графику.

(24 Окт '14 11:31) void_pointer

@aid78: при $%a=3/2$% седьмой корень есть, и он равен x=-1. Под знаком синуса там будет $%2\pi$%.

(24 Окт '14 11:41) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×841
×461
×234

задан
23 Окт '14 21:50

показан
1013 раз

обновлен
24 Окт '14 12:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru