сравнение - Сравнить два числа

Я так понял эту задачу, что нужно получить математическое доказательство неравенства $%\sqrt2+\sqrt3 > \pi$% любым доступным способом. По всей видимости, "красивого" доказательства здесь не имеется, и главным является получение достаточно точной верхней оценки для $%\pi$%. Оценки квадратных корней с любой заданной точностью получить достаточно легко. Одним из способов могло бы быть извлечение корней в "столбик"; ещё проще использовать цепные дроби.

Одним из способов получения верхних оценок для $%\pi$% является рассмотрение ряда для арктангенса: $%\arctan x=x-\frac13x^3+\frac15x^5-\frac17x^7+\cdots$%, сходящегося при всех $%x\in[0;1]$%. В частности, отсюда следует известное тождество (кажется, Лейбница): $%\frac{\pi}4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$%.

Уже эта формула позволяет найти рациональное приближение $%\pi$% с любой заданной точностью, но трудность в том, что для достижения хорошей точности нужно брать очень много членов такого ряда. Выход видится в том, чтобы использовать разложение для арктангенса не для $%x=1$%, а для какого-то другого числа, арктангенс которого нам известен. Например, для $%x=\frac1{\sqrt3}$%. Тогда степени $%x$% стремятся к нулю, и "хвосты" рассматриваемого ряда тоже, за счёт чего ряд в подходящем месте "обрезается" до многочлена.

Дабы не использовать сложный математический аппарат в виде рядов Тейлора, которые в школе не изучаются, мы несколько ослабим сам факт, на который хотим сослаться. Реально мы берём некоторое число вида $%\frac{\pi}n$%, тангенс которого мы знаем. Полагая $%x=\tan\frac{\pi}n$%, мы в левой части равенства имеем $%\frac{\pi}n$%, а оценка проводится сверху, поэтому нам нужно неравенство типа $%\arctan x < x-\frac13x^3+\frac15x^5$%. Если брать больше членов ряда, то вычисления усложняются. Если меньше, то неравенство будут иметь вид $%\arctan x < x$%. В таком виде оно будет вполне школьным, но здесь трудность в том, что для достижения нужной точности придётся брать угол $%\frac{\pi}{48}$%, находя его тангенс через формулы половинного угла, применяемые несколько раз. Оценки получатся слишком громоздкими.

Таким образом, мы берём за основу неравенство $%\arctan x < x-\frac13x^3+\frac15x^5$%, но тогда его придётся сначала доказать школьными методами. Это сделать нетрудно при помощи производной. Введём функцию $%f(x)=\arctan x-x+\frac13x^3-\frac15x^5$% на множестве $%x\in[0;1]$%. Очевидно, что $%f(0)=0$%. Для доказательства неравенства $%f(x) < 0$% во всех остальных точках достаточно проверить, что функция убывает, то есть $%f'(x) < 0$%. Формула для производной арктангенса нам известна, и после дифференцирования получится $%f'(x)=\frac1{1+x^2}-1+x^2-x^4=-\frac{x^6}{1+x^2} < 0$% при всех $%x\in[0;1)$%. Таким образом, неравенство доказано, и им можно пользоваться.

Теперь надо выбрать подходящее $%x$%, для которого точность оказывается высокой. К сожалению, $%x=\frac1{\sqrt3}$% здесь не годится: числа получаются хорошие, но точности чуть-чуть не хватает. Поэтому можно положить $%x=\tan\frac{\pi}8=\sqrt2-1$%: это значение легко находится через формулу тангенса половинного угла, или геометрически.

Подставлять число $%x=\sqrt2-1$% в многочлен пятой степени можно как непосредственно, так и на основании того, что $%x^2=1-2x$%. Второй из способов видится несколько более предпочтительным, и из него получается, что $%x^3=x-2x^2=x-2(1-2x)=5x-2$%, а $%x^5=x^2x^3=(1-2x)(5x-2)=-2+9x-10x^2=-2+9x-10+20x=29x-12$%. Тем самым, $%\frac{\pi}8 < x-\frac13x+\frac15x^5=\frac{77x-26}{15}$%. На основании этого становится доказанным неравенство $%\pi < \frac8{15}(77x-26)=\frac8{15}(77\sqrt2-103)$%. Точность этого приближения составляет примерно 1/500.

Теперь всё свелось к проверке неравенства с алгебраическими числами: $%\frac8{15}(77\sqrt2-103) < \sqrt2+\sqrt3$%. Оно равносильно $%601\sqrt2 < 824+15\sqrt3$%. Здесь уже достаточно последовательно возвести числа в квадрат.