|
Предположим, что $$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R : \forall x \in \mathbb R \ \forall \ U_x \ \exists g \in \mathbb R [x]: f_{U_x} \equiv g_{U_x}$$ Здесь $%U_x$% - окрестность точки $%x$%. Следует ли отсюда, что $%f \in \mathbb{R}[x]$% ? То есть если функция локально совпадает с многочленом (в каждой окрестности многочлен свой), то является ли она сама многочленом? задан 21 Апр '12 20:45 
Fedya
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Итак, в измененной задаче функция на любом отрезке является многочленом. Разобьем ось R на счетное количество отрезков, например, представим ее как объединение последовательности отрезков $%[n;n+1 ]$%, где n -целое. Наша функция представилась в виде сплайна из многочленов. Но, т.к. на любом отрезке $%[n-1/2;n+1/2 ]$% это тоже многочлен, то в точке $%n$% функция обладает бесконечной гладкостью, поэтому все производные справа и слева совпадают, что возможно только в случае совпадения правого и левого многочленов. Проведя это рассуждение для всех точек n, получим, что у нас один и тот же многочлен на всех отрезках. отвечен 22 Апр '12 13:47 
Андрей Юрьевич Да, вроде всё так, спасибо!
(22 Апр '12 14:15)
Fedya
|
|
В условии, я так понял (если не понял - поправьте), для любого x и любой окрестности этой точки выполняется условие задачи, тогда в качестве окрестности т. х можно взять всю числовую ось. Значит функция - некоторый многочлен (возможно представленный в какой-то форме). отвечен 22 Апр '12 12:06 
Anatoliy Хорошо, это действительно так. А если немного усложнить и брать окрестности только с компактным замыканием?
(22 Апр '12 12:12)
Fedya
|
С формулами печалька, но они видны во время редактирования.
к сожалению, трудно что-либо понять
Это не первый раз, когда формулы не отобразились, если Вам хочется нормально прочитать, то скопируйте текст формулы, нажмите кнопочку "Задать вопрос" и вставьте текст в окошко. В нижнем окне предпросмотра формула выглядит правильно. (способ от @Fedya =))
Нет, я решительно не могу понять, что не так с формулами, часть стала отображаться, часть нет.
Скорей всего, дело в лишнем обратном слэше перед exists, и фигурные скобки для U_x, похоже, лишние.
"лишний обратный слэш" - это пробел, а скобки написаны, чтобы сужение корректно работало. В окне предпросмотра формула отображается корректно, я этого не могу понять, как так?
Разметку ломает символ вертикальной черты
|. Мы добавим эту проблему в список на устранение и через какое-то время исправим.