Предположим, что

$$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R : \forall x \in \mathbb R \ \forall \ U_x \ \exists g \in \mathbb R [x]: f_{U_x} \equiv g_{U_x}$$

Здесь $%U_x$% - окрестность точки $%x$%. Следует ли отсюда, что $%f \in \mathbb{R}[x]$% ?

То есть если функция локально совпадает с многочленом (в каждой окрестности многочлен свой), то является ли она сама многочленом?

задан 21 Апр '12 20:45

изменен 22 Апр '12 11:02

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

С формулами печалька, но они видны во время редактирования.

(21 Апр '12 20:48) Fedya

к сожалению, трудно что-либо понять

(21 Апр '12 20:55) Андрей Юрьевич

Это не первый раз, когда формулы не отобразились, если Вам хочется нормально прочитать, то скопируйте текст формулы, нажмите кнопочку "Задать вопрос" и вставьте текст в окошко. В нижнем окне предпросмотра формула выглядит правильно. (способ от @Fedya =))

(21 Апр '12 21:04) Fedya

Нет, я решительно не могу понять, что не так с формулами, часть стала отображаться, часть нет.

(21 Апр '12 23:08) Fedya

Скорей всего, дело в лишнем обратном слэше перед exists, и фигурные скобки для U_x, похоже, лишние.

(22 Апр '12 0:11) Андрей Юрьевич

"лишний обратный слэш" - это пробел, а скобки написаны, чтобы сужение корректно работало. В окне предпросмотра формула отображается корректно, я этого не могу понять, как так?

(22 Апр '12 9:18) Fedya
1

Разметку ломает символ вертикальной черты |. Мы добавим эту проблему в список на устранение и через какое-то время исправим.

(22 Апр '12 11:03) ХэшКод
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Итак, в измененной задаче функция на любом отрезке является многочленом. Разобьем ось R на счетное количество отрезков, например, представим ее как объединение последовательности отрезков $%[n;n+1 ]$%, где n -целое. Наша функция представилась в виде сплайна из многочленов. Но, т.к. на любом отрезке $%[n-1/2;n+1/2 ]$% это тоже многочлен, то в точке $%n$% функция обладает бесконечной гладкостью, поэтому все производные справа и слева совпадают, что возможно только в случае совпадения правого и левого многочленов. Проведя это рассуждение для всех точек n, получим, что у нас один и тот же многочлен на всех отрезках.

ссылка

отвечен 22 Апр '12 13:47

изменен 22 Апр '12 13:48

Да, вроде всё так, спасибо!

(22 Апр '12 14:15) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
1

В условии, я так понял (если не понял - поправьте), для любого x и любой окрестности этой точки выполняется условие задачи, тогда в качестве окрестности т. х можно взять всю числовую ось. Значит функция - некоторый многочлен (возможно представленный в какой-то форме).

ссылка

отвечен 22 Апр '12 12:06

изменен 22 Апр '12 12:15

Хорошо, это действительно так. А если немного усложнить и брать окрестности только с компактным замыканием?

(22 Апр '12 12:12) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480
×338

задан
21 Апр '12 20:45

показан
948 раз

обновлен
22 Апр '12 14:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru