|
$%\frac {x^2}{6}+\frac {y^2}{3}=1$% и $%\frac {x^2}{25}-\frac {y^2}{16}=1$%. задан 26 Окт '14 17:51 
Bob1995 |
|
Общая касательная к кривым $$\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1{\text{ и }}\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$$ имеет вид $$y = kx + c$$ Для условия касания достаточно подставить данное уравнение в уравнение кривых, выразить оба полученных уравнения как квадратные относительно переменной $%x$%, приравнять дискриминант к нулю и решить систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными $%k$% и $%c$%. $$\begin{cases}\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{{(kx + c)}^2}}}{3} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{{(kx + c)}^2}}}{{16}} = 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(2{k^2} + 1){x^2} + (4ck)x + (2{c^2} - 6) = 0\\(16 - 25{k^2}){x^2} - (50ck)x - (25{c^2} + 400) = 0\end{cases}$$ $$\begin{cases}{D_1} = 0 \\{D_2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} {c^2} - 6{k^2} - 3 = 0\\{c^2} - 25{k^2} + 16 = 0\end{cases}$$ Получаем 4 пары решений: $$( - 3; - 1),\,\,\,( - 3;1),\,\,\,(3; - 1),\,\,\,(3;1)$$ Искомые касательные: $$y = x + 3,\,\,\,y = - x + 3,\,\,\,y = x - 3,\,\,\,y = - x - 3$$ Картинка:
отвечен 26 Окт '14 20:07 
night-raven |
Прямые вида $%x=c$% здесь не подходят, и их можно не рассматривать. Составляем уравнение $%y=kx+b$% с неопределёнными коэффициентами. Подставляем в оба уравнения, а потом требуем того, чтобы дискриминанты квадратных трёхчленов равнялись нулю. Получится несложная система от $%k^2$% и $%b^2$%. Ответом будут 4 прямые $%y=\pm x\pm3$%.