|
Помогите исследовать ряд на сходимость: $$\\ \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} $$ задан 26 Окт '14 23:10 
Танюша |
|
Ряд можно записать как $%(a_2-a_3)+(a_4-a_5)+\cdots$%, где $%a_n=\frac1{\sqrt{n}+(-1)^n}$%. Рассмотрим разность $%a_{2k}-a_{2k+1}=\frac1{\sqrt{2k}+1}-\frac1{\sqrt{2k+1}-1}=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k}-2}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}$%. Теперь можно рассмотреть разность двух рядов. У одного из них общий член равен $%\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k}}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}$%, то есть $%\frac{1}{(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k})(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}\sim\frac{C}{k^{3/2}}$% для некоторой константы $%C$%. По интегральному признаку, с учётом признака подобия, этот ряд сходится. У второго ряда общий член равен $%\frac2{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}\sim\frac1k$%, то есть этот ряд подобен гармоническому, и он расходится. Следовательно, ряд из условия равен разности сходящегося и расходящегося, то есть расходится. отвечен 26 Окт '14 23:41 
falcao |
Тут вроде признак Лейбница хорошо работает.
@cartesius : Признак Лейбница нельзя использовать, поскольку не выполняется условие монотонности. Записывая разности соседних членов, получим $$a_{2k}-a_{2k+1}=\frac1{\sqrt{2k}+1}-\frac1{\sqrt{2k+1}-1}=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k}-2}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k}}-2}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k+1}-1)}<0 $$ $$a_{2k}-a_{2k-1}=\frac1{\sqrt{2k}+1}-\frac1{\sqrt{2k-1}-1}=\frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}-2}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k-1}-1)}=\frac{\frac{-1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}-2}{(\sqrt{2k}+1)(\sqrt{2k-1}-1)}<0,$$ откуда $$ a_{2k} < a_{2k+1}$$ $$a_{2k-1} > a_{2k}.$$
Значит, нельзя. Я сама не проверяла.
@Танюша, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.