линейная-алгебра - Найти ортогональный базис

Будем строить ортогональный базис $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%.

Полагаем $%f_1=e_1$%. Следующий вектор ищем в виде $%f_2=e_2+\alpha f_1$%. Векторы должны быть ортогональны, откуда $%0=(f_1,f_2)=(e_1,e_2)+\alpha(e_1,e_1)$%. Находим скалярные произведения: $%(e_1,e_1)=7$%; $%(e_1,e_2)=-5$%. Отсюда $%\alpha=5/7$%. Чтобы избежать дробей, производим умножение на $%7$%, то есть полагаем $%f_2=7e_2+5f_1=(-9;12;3;-9)$%, и теперь можно сократить на $%3$%, окончательно имея $%f_2=(-3;4;1;-3)$% (в виде столбца).

Теперь ищем третий базисный вектор в виде $%f_3=e_3+\beta f_1+\gamma f_2$%, исходя из условий ортогональности $%0=(f_3,f_1)=(e_3,f_1)+\beta(f_1,f_1)$% и $%0=(f_3,f_2)=(e_3,f_2)+\gamma(f_2,f_2)$%. Скалярные произведения таковы: $%(f_1,f_1)=7$%; $%(f_2,f_2)=35$%; $%(e_3;f_1)=-8$%; $%(e_3;f_2)=24$%. Отсюда $%\beta=8/7$% и $%\gamma=-24/35$%. Производим домножение на 35, полагая $%f_3=35e_3+40f_1-24f_2=(-28;-21;21;7)$%, после чего сокращаем на 7, имея столбец $%f_3=(-4;-3;3;1)$%.

Искомый базис имеет вид $%f_1=(1;1;2;1)$%; $%f_2=(-3;4;1;-3)$%; $%f_3=(-4;-3;3;1)$%. Можно на всякий случай сделать проверку, убедившись в ортогональности построенной системы.