|
Пусть $%A$% - $%3×3$% матрица с собственными величинами $%λ_1, λ_2$%, и $%λ_3$% такими, что $%λ_1\neq λ_2, λ_1\neq λ_3$%, and $%λ_2\neq λ_3$%. Что должно быть истинно:
задан 27 Окт '14 17:08 
Рита Вернер |
|
Поскольку матрица 3х3 и у нее три разных собственных значения, то каждому из них будет соответствовать свой собств. вектор (все они линейно независимы, поэтому выполняется пункт 2). Т.к. в пункте 1 два вектора соответствуют одному собств. значению (они не могут быть лин. независимыми, т.к. в трехмерном пространстве всего три лин. независимых вектора, и это собст. векторы, отвечающие разным $%\lambda$%), то векторы п. 1 линейно зависимы. Значит 1 и 2 верно, а третье нет. Пример для 3-го: рассм. матрицу, 1-я строка которой $%(0;0;0)$%; 2-ая: $%(0;2;3)$% 3-я: $%(0;3;2)$%. Собственные значения $%\lambda_1=0; \lambda_2=1;\lambda_3=5$% - все разные, а определитель матрицы равен нулю. отвечен 27 Окт '14 17:21 
Lyudmyla |
Определитель здесь может быть равен нулю, если одно из с.з. нулевое.
В первом и втором пункте утверждения истинны. Собственные подпространства здесь одномерны, и любые два с.в. для одного $%\lambda$% пропорциональны. Линейная независимость во втором пункте также доказывается просто.