Равномерная непрерывность

1) Снова используем свойство, относящееся к производной. Поскольку $%f'(x)=ex^{e-1}$%, имеем $%0 < f'(x) < e$% при $%x\in(0;1)$%. Следовательно, $%|f(x_1)-f(x_2)|\le e|x_1-x_2|$% для любых чисел из области определения, и теперь достаточно положить $%\delta=\varepsilon/e$%, чтобы равномерная непрерывность следовала из определения.

2) Здесь нужно указать "близкие" числа, в которых функция принимает "далёкие" значения. Остановимся на таких значениях, для которых синус в одном случае равен нулю, а в другом единице. В частности, положим $%\frac1{x_k}=2\pi k$% и $%\frac1{y_k}=\frac{\pi}2+2\pi k$% при $%k\ge1$%. Ясно, что при этом $%x_k$%, $%y_k$% попадут в интервал $%(0;1)$%.

Сравним между собой $%x_k$% и $%y_k$%, доказывая, что при больших значениях $%k$% они являются сколь угодно близкими. А именно, $%0 < x_k-y_k=\frac1{2\pi k}-\frac1{\pi/2+2\pi k}=\frac{\pi/2}{2\pi k(\pi/2+2\pi k)}$%. Ясно, что эта величина стремится к нулю при $%k\to+\infty$%, то есть при выборе достаточно большого $%k$% её можно сделать сколь угодно малой. В частности, неравенство $%|x_k-y_k|=x_k-y_k < \frac1{24k^2} < \delta$% будет справедливо при всех натуральных $%k > K$%, где $%K=K(\delta)$% -- натуральное число, превосходящее $%\sqrt{\frac1{24\delta}}$%.

Если мы теперь сравним значения функции в этих точках, то окажется, что $%f(x_k)=\sin\frac1{x_k}=\sin2\pi k=0$% и $%f(y_k)=\sin\frac1{y_k}=\sin(\frac{\pi}2+2\pi k)=1$%. Поэтому $%|f(x_k)-f(y_k)|=1$%, и при $%\varepsilon_0=1$% неравенство $%|f(x_k)-f(y_k)| < \varepsilon_0$% не будет выполняться ни для какого $%\delta > 0$%, если взять $%k > K=K(\delta)$%.