Доказать, что найдутся 2015 последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее 2015 попарно различных натуральных делителей.

Я склоняюсь к тому, что тут без индукции не обойтись. 2015 идущих подряд составных (следовательно, имеющих не менее трёх делителей) чисел найдутся. Например, $$2016!+2,\quad 2016!+3,\quad\dots ,\quad 2016!+2016$$ Пусть теперь у нас имеются 2015 последовательных чисел, каждое из которых имеет не менее $$n$$ делителей: $$k,\quad k+1,\quad \dots ,\quad k+2014$$ Тогда числа $$(k+2014)!+k,\quad (k+2014)!+k+1,\quad\dots ,\quad (k+2014)!+k+2014$$ будут иметь не менее $$n+1$$ делителей каждое.

Таким образом, для любого наперёд заданного количества делителей можно найти 2015 идущих подряд натуральных чисел, имеющих это (или большее) количество делителей.

Я права?

задан 28 Окт '14 1:48

10|600 символов нужно символов осталось
3

Да, такое рассуждение вполне проходит. Можно предложить другое, основанное на китайской теореме об остатках. Выпишем в достаточном количестве какие-нибудь попарно взаимно простые числа, каждое из которых имеет достаточно большое число делителей. Например, это могут быть степени простых чисел: $%2^{2014}$%, $%3^{2014}$%, $%5^{2014}$%, .... , или это могут быть произведения 11 разных простых чисел, которые нигде не повторяются.

Согласно китайской теореме об остатках, для таких наборов существует натуральное число, дающее при делении на каждое из них любой заранее заданный остаток. В частности, мы может потребовать остатка 0 при делении на первое число, остатка 1 при делении на второе, и так далее. Тогда числа $%x$%, $%x-1$%, $%x-2$%, ... , выписанные в обратном порядке, дадут то, что нужно.

Можно оценить сверху, какого порядка числа при этом получаются. Число $%x$% не превосходит произведения тех чисел, остатки от деления на которые мы рассматривали. Для второго из примеров получится произведение $%11n$% первых простых чисел, где $%n=2014$%. Есть красивая задача, в которой элементарными методами доказывается неравенство $%p_1p_2\ldots p_n < 4^n$% для произведения первых $%n$% простых чисел. Поэтому здесь будет оценка $%4^{11n}$%; это сравнительное немного.

ссылка

отвечен 28 Окт '14 2:14

Большое спасибо!

(28 Окт '14 2:22) حنين
2

@Katy Laurin: небольшая поправка по поводу оценки. Я сослался немного не на тот факт. Верно то, что произведение простых чисел отрезка от 1 до $%n$% меньше $%4^n$%. Для произведения первых $%n$% простых чисел это не так уже при $%n=5$%. Поэтому здесь надо брать оценку $%4^{p_n}$%, а про $%n$%-е простое число известно, что оно имеет порядок $%n\log n$%. Поэтому оценкой для $%x$% будет величина порядка $%n^{Cn}$% для некоторой константы $%C$%. Это несколько хуже того, что было, но не намного.

(28 Окт '14 18:08) falcao
1

Всё равно спасибо!

(29 Окт '14 1:32) حنين
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,166
×1,087
×802
×264
×41

задан
28 Окт '14 1:48

показан
1884 раза

обновлен
29 Окт '14 1:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru