Доказать, что если суммы квадратов двух противоположных ребер тетраэдра равны, то третья пара ребер перпендикулярна.

задан 28 Окт '14 18:28

изменен 29 Окт '14 10:52

Речь идёт о тетраэдре?

(29 Окт '14 0:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%ABCD$% -- тетраэдр. Нам дано, что $%AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$%. Требуется доказать, что $%AD\perp BC$%. Это проще всего сделать при помощи векторов.

Введём маленькие буквы для обозначения векторов: $%b=\vec{AB}$%, $%c=\vec{AC}$%, $%d=\vec{AD}$%. Все векторы с началами и концами в точках $%B$%, $%C$%, $%D$% легко выражаются через три перечисленных вектора по принципу "конец минус начало". То равенство, которое дано по условию, превращается в алгебраическое соотношение $%b^2+(d-c)^2=c^2+(d-b)^2$%. где все произведения и квадраты -- скалярные.

Раскрывая скобки, имеем $%b^2+d^2+c^2-2cd=c^2+d^2+b^2-2bd$%, откуда $%bd=cd$%, то есть $%d(c-b)=0$%. Это значит, что $%\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0$%, то есть векторы перпендикулярны.

ссылка

отвечен 29 Окт '14 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,508
×439
×193

задан
28 Окт '14 18:28

показан
772 раза

обновлен
29 Окт '14 10:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru