геометрия - Перпендикулярность ребер

Пусть $%ABCD$% -- тетраэдр. Нам дано, что $%AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$%. Требуется доказать, что $%AD\perp BC$%. Это проще всего сделать при помощи векторов.

Введём маленькие буквы для обозначения векторов: $%b=\vec{AB}$%, $%c=\vec{AC}$%, $%d=\vec{AD}$%. Все векторы с началами и концами в точках $%B$%, $%C$%, $%D$% легко выражаются через три перечисленных вектора по принципу "конец минус начало". То равенство, которое дано по условию, превращается в алгебраическое соотношение $%b^2+(d-c)^2=c^2+(d-b)^2$%. где все произведения и квадраты -- скалярные.

Раскрывая скобки, имеем $%b^2+d^2+c^2-2cd=c^2+d^2+b^2-2bd$%, откуда $%bd=cd$%, то есть $%d(c-b)=0$%. Это значит, что $%\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0$%, то есть векторы перпендикулярны.