|
Любую вершину треугольника можно сдвигать по проходящей через неё прямой, параллельной противоположной стороне. Доказать, что можно такими операциями превратить равносторонний треугольник со стороной 1 в любой другой треугольник той же площади. задан 29 Окт '14 1:23 
حنين |
|
Понятно, что площадь треугольника при всех таких преобразованиях остаётся неизменной. Пусть она равна $%S=\sqrt3/4$%, то есть площади равностороннего треугольника со стороной 1. Рассмотрим произвольный треугольник $%ABC$% площади $%S$%. Докажем, что у него имеется сторона длиной не менее 1. Предполагая противное, то есть считая, что каждая из сторон строго меньше 1, рассматриваем наименьший по величине угол. Он не превосходит 60 градусов, и его синус не больше $%\sqrt3/2$%. Тогда площадь, равная половине произведения длин смежных сторон на синус угла, оказывается меньше $%\sqrt3/4$%, что приводит к противоречию. Итак, пусть $%AB\ge1$%. Тогда, начиная с равностороннего треугольника со стороной 1 и смещая одну из его вершин по описанным правилам, мы можем получить сторону любой заданной длины, большей 1, что очевидно из сравнения длин наклонных. В частности, мы можем сделать одну сторону равной $%AB$% по длине. Поскольку площадь задана, высота полученного треугольника, опущенная на основание $%AB$%, оказывается такой же, как и у треугольника $%ABC$%. Остаётся переместить точку $%C$% по прямой, параллельной $%AB$%, в нужное место. отвечен 29 Окт '14 2:04 
falcao Большое спасибо!
(29 Окт '14 2:34)
حنين
|