матрицы - Найти коэффициент при $%x^5$%

У этой матрицы есть очень много всяких особенностей. Воспользуемся некоторыми из них.

Если из последней строки вычесть первую, то определитель не изменится, а "иксы" в последней строке исчезнут. После этого таким же образом вычтем из последнего столбца первый. Там тоже исчезнут "иксы". Теперь становится ясно, что степень многочлена от $%x$% не больше 6. Случай, когда может получиться одночлен $%x^6$%, всего один -- это когда молния определителя содержит все шесть "иксов". Но она домножается на число 0 на пересечении последней строки и последнего столбца. Следовательно, степень многочлена не больше 5.

Чтобы получилось $%x^5$%, надо какой-то один из "иксов" у матрицы оставить, а остальные взять. Уже было отмечено, что самый первый "икс" (справа сверху) оставить нельзя. Поэтому надо разобрать 4 случая, когда мы в молнию не включаем $%x$% с побочной диагонали. Все эти случаи легко анализируются, причём из-за симметрии матрицы относительно главной диагонали можно рассматривать не 5 случаев, а всего 3.

Если мы не берём в молнию $%a_{26}=x$%, то оставшиеся пять "иксов" домножатся на произведение $%a_{27}a_{76}=-30$%. Подстановка при этом равна 1754326, и она нечётна. Значит, этот коэффициент при $%x^5$% будет равен $%30$%. То же произойдёт в случае, если не берётся $%a_{35}=x$%, и в двух симметричных относительно главной диагонали случаях. В последнем случае, когда не берётся $%a_{44}=x$%, подстановка равна 1657324. В неё 11 инверсий, она нечётна, а коэффициент равен $%a_{47}a_{74}=36$%, и он берётся со знаком "минус". Итого будет $%4\cdot30-36=84$%; это и есть (старший) коэффициент многочлена при $%x^5$%.