|
Упростите выражение: $$1+ 3x^{2} + 5x^{4} + 7x^{6}+...+(2n-1) x^{2n-2}$$ Помогите, пожалуйста. Никак не могу решить. задан 29 Окт '14 20:41 
NastyaNastya |
|
Это производная функции $%f(x)=x+x^3+\cdots+x^{2n-1}$%, что далее суммируется как геометрическая прогрессия: $%f(x)=x(1+x^2+\cdots+x^{2n-2})=\frac{x(x^{2n}-1)}{x^2-1}$% при $%x\ne\pm1$%. По формуле производной частного, $%f'(x)=\frac{(2n-1)x^{2n+2}-(2n+1)x^{2n}+x^2+1}{(x^2-1)^2}$%. Это даёт ответ для $%x\ne\pm1$%. При $%x=\pm1$% сумма из условия считается отдельно, и она равна $%1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$% согласно известному тождеству. отвечен 29 Окт '14 20:54 
falcao @NastyaNastya: без производной можно, но сложнее технически. Cумму "расслоить" на отдельные слагаемые. Одно равно $%1+x^2+\cdots+x^{2n-2}$%; оно суммируется как геометрическая прогрессия. Остаётся $%2x^2(1+2x^2+3x^4+\cdots)$%, и выражение в скобках будет равно сумме сумм геометрических прогрессий: $%(1+x^2+x^4+\cdots)+(x^2+x^4+\cdots)+(x^4+\cdots)+\cdots)$%. Каждая прогрессия суммируется, потом суммируются слагаемые. Так ответ тоже получается, но это громоздко, и не у каждого хватит терпения довести до конца. Ещё способ: умножить сумму на $%x^2-1$%, раскрыть скобки, потом второй раз это же.
(29 Окт '14 21:10)
falcao
Я пыталась "расслоить", но никак не могла дойти до конечной формулы суммы.
(29 Окт '14 21:28)
NastyaNastya
@NastyaNastya: это технически сложный способ, хотя там всё получается в конце концов. Попробуйте вместо этого другой подход, связанный с домножением суммы на $%x^2-1$% два раза. Это несколько попроще. Там ещё удобно везде заменять $%x^2$% на $%y$% -- тогда ещё лучше получается.
(29 Окт '14 21:32)
falcao
То есть нужно домножить $$1+x^{2}+⋯+x^{2n−2}$$ на $$x^{2}−1$$ два раза?
(29 Окт '14 21:48)
NastyaNastya
@NastyaNastya: домножить надо не это, а ту (неизвестную) сумму, которая имеется в условии. Надо домножить один раз, потом упростить. После этого домножить второй раз. И получиться должен числитель дроби из того ответа, который у меня получен. После этого сумма будет равна частному, то есть формула этим будет доказана.
(29 Окт '14 22:01)
falcao
У меня получилось, спасибо. Но мне хотелось бы понять: как доказать, что нужно домножить именно на $%x^{2}-1$% два раза?
(29 Окт '14 22:39)
NastyaNastya
@NastyaNastya: это не требует доказательства. Всё доказательство содержится в вычислениях. Они проводятся по арифметическим правилам, то есть всё законно. А домножить мы имеем право на любое выражение просто с целью посмотреть, что будет в результате. Уместна другая постановка вопроса: как догадаться, что надо на эту величину домножать? Здесь просто нужен некоторый опыт работы с выражениями. Достаточно заметить, что при домножении на $%y-1$% хорошо "сворачиваются" суммы типа $%1+y+y^2+\cdots$% (суммы прогрессий). Значит, и здесь можно попробовать такое же "лекарство".
(29 Окт '14 22:52)
falcao
Благодарю Вас за ответ. Не могли бы Вы порекомендовать литературу для подготовки к городским олимпиадам по математике, где приведены решения распространенных типов задач, дополнительная теория.
(30 Окт '14 0:00)
NastyaNastya
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Решение без производной: $$\eqalign{ & 1 + 3{x^2} + 5{x^4} + 7{x^6} + \ldots + (2n - 1){x^{2n - 2}} = (1 + {x^2} + {x^4} + {x^6} + \ldots + {x^{2n - 2}}) + \cr & + 2({x^2} + {x^4} + {x^6} + \ldots + {x^{2n - 2}}) + 2({x^4} + {x^6} + \ldots + {x^{2n - 2}}) + \ldots + 2{x^{2n - 2}} \cr} $$ Заметим, что каждое слагаемое представлено в виде суммы геометрической прогрессии. Пусть $$\eqalign{ & {S_1} = 1 + {x^2} + {x^4} + {x^6} + \ldots + {x^{2n - 2}} = \frac{{{x^{2n}} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cr & {S_2} = {x^2} + {x^4} + {x^6} + \ldots + {x^{2n - 2}} = \frac{{{x^{2n}} - {x^2}}}{{{x^2} - 1}} \cr & {S_3} = {x^4} + {x^6} + {x^8} + \ldots + {x^{2n - 2}} = \frac{{{x^{2n}} - {x^4}}}{{{x^2} - 1}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \cr & {S_k} = {x^{2n - 2}} = {x^{2n - 2}} \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^{2n}} - {x^{2n - 2}}}}{{{x^2} - 1}} \cr} $$ Тогда $$1 + 3{x^2} + 5{x^4} + 7{x^6} + \ldots + (2n - 1){x^{2n - 2}} = {S_1} + 2({S_2} + {S_3} + \ldots + {S_k})$$ $${S_2} + {S_3} + \ldots + {S_k} = \frac{{(n - 1){x^{2n}} - ({x^2} + {x^4} + \ldots + {x^{2n - 2}})}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{(n - 1){x^{2n}} - \frac{{{x^{2n}} - {x^2}}}{{{x^2} - 1}}}}{{{x^2} - 1}}$$ $$2({S_2} + {S_3} + \ldots + {S_k}) = 2\frac{{(n - 1){x^{2n + 2}} - n{x^{2n}} + {x^2}}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$$ $${S_1} + 2({S_2} + {S_3} + \ldots + {S_k}) = 2\frac{{(n - 1){x^{2n + 2}} - n{x^{2n}} + {x^2}}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} + \frac{{{x^{2n}} - 1}}{{{x^2} - 1}}$$ После упрощения получаем: $$1 + 3{x^2} + 5{x^4} + 7{x^6} + \ldots + (2n - 1){x^{2n - 2}} = \frac{{(2n - 1){x^{2(n + 1)}} - (2n + 1){x^{2n}} + {x^2} + 1}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$$ отвечен 30 Окт '14 20:44 
night-raven |
Там внизу уже негде отвечать. По поводу литературы: её в Сети хоть отбавляй. Можно любой сборник брать, и пытаться либо решать, либо читать решения. Это всё через Google можно найти в изобилии. Рекомендовать в смысле "гарантии качества" могу любые сборники, изданные МЦНМО. У них вся литература в открытом доступе, и там задачи, теория, дополнительные материалы -- что угодно.
Благодарю.